마하 수로 압축성을 가늠하는 원리
마하 수는 유속 v를 같은 지점의 음속 c로 나눈 값입니다. 음속은 작은 압력 교란이 기체 안에서 퍼져 나가는 속도이므로, 마하 수는 흐름이 그 교란보다 얼마나 빨리 움직이는지를 나타냅니다.
NASA Glenn은 운동량 보존식 ρV dV = −dp에 등엔트로피 관계 dp = a² dρ를 대입해 dρ/ρ = −M² dV/V를 유도합니다. 속도가 1% 변할 때 밀도는 약 M²% 변한다는 뜻입니다. M = 0.1이면 밀도 변화가 0.01%에 그치지만, M = 0.8이면 0.64%가 되어 64배로 커집니다. MIT 16.01 강의 노트도 압력 변화율을 Δp/p ~ (γ/2)M²로 어림하고, M² ≪ 1인 저속 유동에서는 압력·밀도·온도 변화가 모두 작아 물성을 거의 일정하게 볼 수 있다고 설명합니다.
음속 c를 정하는 방법
이상기체에서 음속은 c = √(γRT)입니다. γ는 비열비 cp/cv입니다. NASA Glenn은 표준 상태 공기에서 γ = 1.4라고 제시하면서, γ가 기체 상태에 따라 달라지는 값이라고 덧붙입니다. R은 기체마다 다른 기체 상수입니다. 공기에는 보통 287 J/(kg·K)를 쓰는데, 이 값은 OpenStax에 실린 일반 기체 상수 8.31 J/(mol·K)를 공기 몰질량 0.02897 kg/mol로 나눠 얻은 값입니다. T는 절대온도(K)이며, 정체 온도가 아니라 그 지점의 정적 온도를 넣어야 합니다.
v에는 물체와 공기 사이의 상대 속도나 관심 지점의 국소 유속을 넣습니다. 계산기 기본값 v = 170 m/s, c = 340 m/s를 넣으면 Ma = 0.5가 나옵니다. 340 m/s는 Cornell 표준대기 표의 해면값 340.29 m/s(288.15 K)에 가깝습니다. 20 °C 실험실 공기라면 OpenStax가 제시한 343 m/s를 쓰는 편이 조건에 맞습니다.
이 값으로 계산하기매질과 고도별 음속, 100 m/s일 때의 마하 수
같은 100 m/s라도 매질과 온도에 따라 마하 수가 다섯 배 이상 달라집니다. 아래 표에서 음속은 출처 표에 실린 값이고, 마하 수는 100 m/s를 그 음속으로 나눠 이 사이트에서 계산했습니다.
| 매질과 조건 | 음속 c (m/s) | 출처 | v = 100 m/s일 때 Ma |
|---|---|---|---|
| 공기, 표준대기 해면(288.15 K) | 340.29 | Cornell 표 1.1 | 0.2939 |
| 공기, 20 °C | 343 | OpenStax | 0.2915 |
| 공기, 0 °C | 331 | OpenStax 표 17.1 | 0.3021 |
| 공기, 표준대기 11 000 m(216.65 K) | 295.07 | Cornell 표 1.1 | 0.3389 |
| 이산화탄소, 0 °C | 259 | OpenStax 표 17.1 | 0.3861 |
| 헬륨, 0 °C | 965 | OpenStax 표 17.1 | 0.1036 |
| 담수, 20 °C | 1480 | OpenStax 표 17.1 | 0.0676 |
물의 음속 1480 m/s는 펌프·배관에서 흔한 수 m/s 유속보다 수백 배 크기 때문에, 일반적인 수력 계산에서 마하 수는 0에 가깝습니다. 그러나 밸브를 급히 닫을 때 생기는 수격처럼 압력파 전파가 핵심인 문제에서는 액체의 음속이 다시 중요한 입력이 됩니다. 기체 중에서도 이산화탄소는 공기보다 음속이 낮아 같은 유속에서 마하 수가 더 크게 나옵니다.
실제 조건으로 계산한 마하 수 예제
예제 1. 고도 11 000 m에서 순항하는 여객기
주어진 값: 표준대기 11 000 m에서 T = 216.65 K, a = 295.07 m/s입니다(Cornell 표 1.1). 순항 진대기속도(TAS) 250 m/s는 설명을 위해 가정한 값입니다.
단위 확인: 250 m/s × 3.6 = 900 km/h입니다.
계산: Ma = 250 / 295.07 = 0.8473입니다. 같은 250 m/s를 해면 표준대기 음속 340.29 m/s로 나누면 0.7347이 나옵니다. 두 음속의 비 295.07 / 340.29 = 0.8671은 온도비의 제곱근 √(216.65 / 288.15)와 일치하므로, 음속이 온도의 제곱근에 비례한다는 점을 표 값으로 확인할 수 있습니다.
해석: 속도는 같아도 11 000 m에서는 마하 수가 약 15% 더 큽니다(0.8473 / 0.7347 = 1.153). 계산기는 0.8 이상이므로 '천음속'으로 표시합니다. (γ/2)M² = 0.7 × 0.8473² ≈ 0.50이므로 압력 변화가 정압의 절반 수준까지 커질 수 있다는 어림이 나오고, 비압축성 해석은 맞지 않습니다. 날개 윗면처럼 흐름이 가속되는 곳에서는 국소 마하 수가 1을 넘을 수 있습니다.
예제 2. 20 °C 실험실 덕트에서 0.3 기준 확인하기
주어진 값: 20 °C 공기의 음속은 343 m/s입니다(OpenStax). 덕트 평균 유속 100 m/s는 가정값입니다.
음속 검산: γ = 1.4, R = 287 J/(kg·K), T = 273.15 + 20 = 293.15 K를 넣으면 γRT = 117,787.67 m²/s²이고 c = 343.2 m/s입니다. 출처 값 343 m/s와 반올림 범위에서 같습니다.
계산: Ma = 100 / 343 = 0.2915입니다. NASA Glenn 등엔트로피 관계에 γ = 1.4를 넣으면 T0/T = 1 + 0.2 Ma² = 1.0170, ρ0/ρ = (T0/T)2.5 = 1.0430, p0/p = (T0/T)3.5 = 1.0608입니다.
해석: 이 흐름을 등엔트로피적으로 멈추면 밀도가 약 4.3% 높아집니다. 마하 수가 0.3보다 조금 낮다고 밀도 변화가 0이 되지는 않습니다. 압력손실을 1% 정밀도로 맞춰야 하는 덕트 해석이라면 압축성 솔버를 쓰거나 밀도 변화를 보정해야 하는지 따져 봐야 합니다. 0.3은 수 % 수준의 밀도 변화를 받아들이겠다는 관행적인 기준이며, 물리 법칙이 정한 경계가 아닙니다.
예제 3. 수축 노즐 목이 초크될 때의 상태
주어진 값: 저장조 정체 상태 T0 = 293.15 K(20 °C), p0 = 101,325 Pa는 가정값입니다. 수축 노즐이 저압 탱크로 배출하고, 배압이 충분히 낮아 목에서 Ma = 1이 된다고 봅니다. NASA Glenn은 흐름이 초크되면 마하 수가 1이 되며 이때의 상태를 별표(*)로 표시합니다.
계산: Ma = 1, γ = 1.4이면 1 + 0.2 × 1² = 1.2입니다. T*/T0 = 1 / 1.2 = 0.8333이므로 T* = 244.29 K입니다. p*/p0 = 1.2−3.5 = 0.5283이므로 p* = 53,528 Pa입니다. ρ*/ρ0 = 1.2−2.5 = 0.6339입니다.
목 유속: 목에서는 유속이 그 지점의 음속과 같습니다. c* = √(1.4 × 287 × 244.29) = 313.3 m/s입니다. 저장조 온도로 계산한 343.2 m/s가 아니라, 팽창하며 냉각된 목 온도로 구한 음속이라는 점에 주의합니다.
해석: 배압이 0.5283 p0, 즉 약 53.5 kPa보다 낮아지면 목 상태는 더 변하지 않고 질량유량도 늘지 않습니다. 이 결론은 마찰과 열전달을 무시한 등엔트로피 가정에서 나온 것입니다. 노즐 출구 뒤에 생기는 팽창파와 충격파는 이 관계로 계산할 수 없습니다.
구간 이름과 국소 마하 수 읽기
계산기는 Ma < 0.8을 아음속, 0.8~1.2를 천음속, 1.2~5를 초음속, 5 이상을 극초음속으로 표시합니다. 이 경계는 관행적으로 쓰는 대략값이며 문헌마다 조금씩 다릅니다. NASA Glenn은 M이 1에 가까워지면 M²도 1에 가까워져 밀도 변화율이 속도 변화율과 거의 같아지고, 이런 천음속 흐름에서는 압축성을 무시할 수 없다고 설명합니다.
자유류 마하 수와 국소 마하 수도 구분해야 합니다. 예제 1의 0.8473은 비행기에서 멀리 떨어진 공기를 기준으로 한 값입니다. 날개 윗면에서 흐름이 빨라지면 국소 정적 온도가 내려가 음속은 작아지고 유속은 커지므로, 국소 마하 수는 자유류 값보다 상당히 커질 수 있습니다. CFD 결과를 검토할 때는 경계 조건으로 준 자유류 Ma와 셀마다 계산된 국소 Ma를 따로 확인합니다.
0.3 기준과 등엔트로피 관계가 맞지 않는 경우
- 충격파를 지나는 흐름: NASA Glenn은 충격파가 생기면 흐름이 비가역이 되어 등엔트로피 관계가 성립하지 않으며, 수직·경사 충격파 관계를 써야 한다고 명시합니다.
- 가열 때문에 밀도가 바뀌는 저속 흐름: 연소기나 온도차가 큰 자연대류처럼 열이 밀도를 바꾸는 흐름에서는 Ma가 0.01이어도 밀도가 일정하지 않습니다. 낮은 마하 수는 압력 변화로 생기는 밀도 변화가 작다는 사실만 알려 줍니다.
- 공기가 아닌 기체: 이산화탄소, 헬륨, 연소 가스는 γ와 R이 다르므로 공기의 음속이나 0.3 기준에서 계산한 밀도비를 그대로 옮기지 않습니다. 공기도 γ가 상태에 따라 달라지므로 고온 조건에서는 1.4가 맞는지 확인합니다.
- 마하 수만으로 항력, 충격파 위치, 구조 안전성을 결정할 수 없습니다. 점성 효과는 레이놀즈 수로, 희박 기체 효과는 누센 수로 따로 판단합니다.
마하 수 계산에서 자주 묻는 질문
음속으로 340 m/s와 343 m/s 중 어느 값을 써야 하나요?
340.29 m/s는 표준대기 해면(288.15 K, 즉 15 °C) 값이고 343 m/s는 20 °C 공기 값입니다. 두 값의 차이는 약 0.8%(343 / 340.29 = 1.0080)라서 대략적인 구간 판단에는 영향이 작습니다. 시험이나 해석 조건의 온도를 알고 있다면 c = √(γRT)로 다시 계산하는 편이 정확합니다.
Ma가 0.3보다 작으면 언제나 비압축성으로 풀어도 되나요?
그렇지 않습니다. 예제 2처럼 Ma = 0.2915에서도 정체 밀도는 정적 밀도보다 약 4.3% 큽니다. 요구 정확도가 이보다 엄격하거나, 가열·연소처럼 온도 때문에 밀도가 크게 변하는 흐름이라면 마하 수가 작아도 밀도 변화를 모델에 넣어야 합니다.
초크된 수축 노즐에서 배압을 더 낮추면 유량이 늘어나나요?
등엔트로피 가정에서는 늘지 않습니다. 목이 Ma = 1에 도달한 뒤에는 목의 온도·압력·밀도가 정체 상태만으로 정해지므로, 유량을 늘리려면 저장조 압력을 높이거나 목 면적을 키워야 합니다. 배압을 낮추면 출구 바깥의 팽창 과정만 달라집니다.
비행기 속도계에 표시된 속도를 그대로 넣어도 되나요?
마하 수에는 주변 공기에 대한 진대기속도가 들어갑니다. 지시대기속도는 고도가 높아질수록 진대기속도보다 작게 나타나고, GPS 지상속도에는 바람 성분이 섞여 있습니다. 예제 1의 250 m/s도 진대기속도로 가정한 값입니다.
관련 무차원수
마하 수로 압축성을 확인한 뒤, 같은 기체 흐름에서 다른 가정을 점검할 때 함께 보는 수입니다.
- 누센 수 (Kn): 마하 수가 작아도 미세 유로나 희박 기체에서는 연속체 가정이 깨질 수 있으므로 평균 자유 행로와 길이 척도를 따로 비교합니다.
- 레이놀즈 수 (Re): 순항 여객기처럼 마하 수가 큰 흐름에서도 경계층이 층류인지 난류인지는 Re로 판단합니다.
참고 자료
- NASA Glenn Research Center: Role of the Mach Number. M = V/a, a² = γRT, dρ/ρ = −M² dV/V 유도와 천음속에서 압축성을 무시할 수 없다는 설명
- NASA Glenn Research Center: Isentropic Flow Equations. T/T0, p/p0, ρ/ρ0 관계, Ma = 1 초크 조건, 충격파에서 등엔트로피 관계가 성립하지 않는다는 점
- NASA Glenn Research Center: Specific Heats. γ = cp/cv, 표준 상태 공기의 γ = 1.4
- OpenStax: University Physics Volume 1, 17.2 Speed of Sound. 20 °C 공기 343 m/s, 표 17.1의 매질별 음속, R = 8.31 J/(mol·K)와 공기 몰질량 0.02897 kg/mol
- Cornell University MAE 5070: Introduction to Flight Dynamics. 표준대기 표 1.1의 0 m(288.15 K, 340.29 m/s)와 11 000 m(216.65 K, 295.07 m/s) 값
- MIT OpenCourseWare 16.01: Fluids Lecture 5 Notes (M. Drela). Δp/p ~ (γ/2)M² 어림과 M² ≪ 1 저속 유동의 정의