두 가지 가정은 서로 다른 질문입니다
비압축성 가정은 밀도 변화를 무시할 수 있는가라는 질문입니다. 연속체 가정은 분자가 충돌 사이에 이동하는 거리에 비해 관심 길이가 충분히 큰가라는 질문입니다. 낮은 마하 수만으로 연속체 모델을 확정할 수 없고, 작은 누센 수만으로 밀도가 일정하다고 할 수도 없습니다.
아래 음속과 정체 상태 관계는 열량적으로 완전한 이상기체, 일정한 비열비 γ, 단열·등엔트로피 감속을 가정합니다. NASA Glenn 자료는 표준 대기 조건의 공기에 대해 γ = 1.4를 제시합니다. 충격파, 큰 마찰 손실, 열 유입이나 강한 희박화가 있는 장치 전체에는 이 관계를 그대로 적용하지 않습니다.
계산 전에 상태와 길이를 정하기
| 변수 | 단위 | 의미 |
|---|---|---|
| γ | 무차원 | 비열비 cₚ/cᵥ |
| R | J/(kg·K) | 해당 기체의 비기체상수 |
| T, T₀ | K | 국소 정적 온도, 등엔트로피 정체 온도 |
| v, c | m/s | 국소 속도와 국소 음속 |
| ρ, ρ₀ | kg/m³ | 정적 밀도와 등엔트로피 정체 밀도 |
| p, p₀ | Pa | 정적 압력과 등엔트로피 정체 압력 |
| λ, L | m | 평균 자유 행로와 관심 특성 길이 |
섭씨 온도를 c = √(γRT)에 직접 넣지 말고 켈빈 온도를 사용하세요. R은 보편 기체상수의 mol 기준 값이 아니라 kg 기준 값입니다. λ는 같은 기체·압력·온도 조건에서 구한 값을 사용합니다. 미세 유로에서는 장치 전체 길이보다 유로 폭이나 관련 구배 길이가 더 적절한 L일 수 있습니다.
마하 수를 정체 상태 관계로 연결하기
이상기체의 음속은 c² = γRT이고 Ma = v/c입니다. 단열의 가역 감속에서 에너지 보존은 cₚT₀ = cₚT + v²/2로 쓸 수 있습니다. 여기에 cₚ = γR/(γ−1)을 대입하면 아래 첫 식을 얻습니다. 등엔트로피 관계 p/ρᵞ = 일정과 이상기체 식을 함께 쓰면 나머지 두 비도 얻습니다.
ρ₀/ρ = (T₀/T)^(1/(γ−1))
p₀/p = (T₀/T)^(γ/(γ−1))
(p₀ − p)/(½ρv²) = (p₀/p − 1)/(γMa²/2)
마지막 식은 ½ρv² = γpMa²/2를 이용해 얻습니다. 이 비는 등엔트로피 감속으로 생기는 압력 상승이 비압축성 Bernoulli 식의 ½ρv²보다 얼마나 큰지를 나타냅니다. 피토관 판독이나 압력 계수를 다룰 때는 밀도비보다 이 비가 더 실용적인 오차 지표인 경우가 많습니다. 위 비들은 한 지점의 상태를 이상적으로 감속한 상태와 비교한 값일 뿐이며, 실제 덕트의 입구·출구 변화량을 예측하지 않습니다.
같은 온도에서 정체 상태 비 비교하기
예제 1. T = 300 K에서 Ma = 0.3과 0.8
주어진 값: γ = 1.4, R = 287 J/(kg·K)이고 정적 온도는 T = 300 K로 가정합니다. 따라서 c = √120540 = 347.1887 m/s입니다. 아래 속도는 Ma = 0.3과 0.8이 되도록 맞춘 값이며 실제 대기 측정값이 아닙니다.
| Ma / v | T₀/T | ρ₀/ρ | p₀/p |
|---|---|---|---|
| 0.3 / 104.1566 m/s | 1.018 | 1.04561 | 1.06443 |
| 0.8 / 277.7510 m/s | 1.128 | 1.35137 | 1.52434 |
Ma = 0.3에서 (p₀ − p)/(½ρv²) = 0.06443/(0.7 × 0.09) = 1.0227
Ma = 0.8에서 (p₀ − p)/(½ρv²) = 0.52434/(0.7 × 0.64) = 1.1704
Ma = 0.3에서 밀도비는 1보다 약 4.56% 크지만, 등엔트로피 압력 상승은 ½ρv²보다 약 2.3%만 큽니다. 따라서 "Ma = 0.3이면 비압축성으로 봐도 되는가"라는 질문의 답은 결과에서 밀도 정확도가 중요한지, 압력 정확도가 중요한지에 따라 달라집니다.
표준 대기 자료로 계산하기
예제 2. 고도 11 000 m에서 Ma = 0.8
주어진 값: Cornell MAE 5070 강의 자료의 표 1.1에 실린 고도 11 000 m 표준 대기 값 T = 216.65 K, p = 22631.70 Pa, ρ = 0.363912 kg/m³, a = 295.07 m/s를 사용합니다. 비행 마하 수 0.8은 가정값입니다.
검산: √(1.4 × 287 × 216.65) = 295.04 m/s이고, 표의 값으로 R을 역산하면 287.05 J/(kg·K)입니다
v = 0.8 × 295.07 = 236.06 m/s
T₀ = 216.65 × 1.128 = 244.38 K
p₀ = 22631.70 × 1.52434 = 34498 Pa; ρ₀ = 0.363912 × 1.35137 = 0.4918 kg/m³
½ρv² = 10139 Pa; 등엔트로피 p₀ − p = 11867 Pa
피토관에서 측정한 압력차를 비압축성 식으로 환산하면 11867 Pa 전체를 동압으로 읽게 되므로 v²를 약 17% 과대평가합니다. 11867/10139의 비는 예제 1과 같은 1.170인데, 이 비가 Ma와 γ에만 의존하기 때문입니다. 295.04 m/s와 295.07 m/s 사이의 0.01% 차이는 R을 287로 반올림해서 생깁니다. 이 정도 차이는 이번 검산에서는 무시할 수 있지만, 시험 결과나 다른 코드의 출력과 음속을 다섯 자리까지 맞춰 비교할 때는 원인을 알고 있어야 하는 차이입니다.
장치 크기나 압력을 바꾸면 Kn을 다시 확인하기
평균 자유 행로를 λ = 6.8×10⁻⁸ m(NIST의 67.3 nm를 반올림한 값)로 고정합니다. L = 0.001 m에서는 Kn = 6.8×10⁻⁵이지만 L = 10⁻⁶ m에서는 Kn = 0.068입니다. 속도와 음속을 그대로 두면 Ma는 변하지 않으므로, 크기를 바꾸는 일은 압축성과는 별개의 가정에 영향을 줍니다. Kn = 0.068이면 미끄럼 영역에 들어가므로 벽 미끄럼과 온도 점프를 검토해야 하며, 비미끄럼 연속체 모델을 그대로 다시 쓰려면 근거가 필요합니다.
| 영역 | Kn 범위 | 일반적인 모델 선택 |
|---|---|---|
| 연속체 | Kn < 0.01 | 비미끄럼 Navier–Stokes 식과 Fourier 열전도 |
| 미끄럼 | 0.01–0.1 | 미끄럼·온도 점프 벽 조건을 붙인 연속체 식 |
| 천이 | 0.1–10 | DSMC 같은 운동론적 방법 |
| 자유분자 | Kn > 10 | 분자와 표면의 충돌이 지배 |
Utah 대학이 NASA 지원으로 작성한 문헌 조사 보고서는 이 범위가 근사적일 뿐이라고 명시합니다. Mars Global Surveyor 공력열 해석 보고서도 천이 영역을 0.1–10, 자유분자 영역을 Kn > 10으로 둡니다.
예제 3. 압력이 낮아질 때 폭 10 µm 유로
주어진 값: 23 °C, 101.3 kPa 공기에서 λ = 67.3 nm입니다(NIST). 유로 폭 L = 10 µm와 낮춘 압력 10 kPa, 1 kPa는 가정값입니다. 온도가 같으면 기체 운동론에서 λ는 압력에 반비례하므로 λ에 101.3/p를 곱해 환산합니다.
101.3 kPa: Kn = 67.3 nm / 10 µm = 0.00673 (연속체)
10 kPa: λ = 0.6817 µm, Kn = 0.0682 (미끄럼)
1 kPa: λ = 6.817 µm, Kn = 0.682 (천이)
T와 v가 그대로라면 이렇게 압력을 낮춰도 Ma는 변하지 않습니다. c = √(γRT)는 압력에 의존하지 않기 때문입니다. 따라서 저속으로 흐르는 진공 배관은 마하 수로 판단하는 압축성 검사를 모두 통과하더라도, 누센 수로 보면 미끄럼 경계 조건이나 운동론적 모델이 필요한 상태일 수 있습니다. 두 검사를 따로 수행해야 하는 이유가 여기에 있습니다.
모델을 선택할 때 남길 기록
- Ma 계산에 사용한 국소 T와 음속 산정 가정을 적습니다.
- 비압축성 근사에서 허용할 밀도 오차 또는 압력 오차를 정합니다.
- Kn의 λ와 L이 어느 기체 상태와 어느 물리적 길이를 나타내는지 적습니다.
- 충격파가 있으면 등엔트로피 관계를 그 충격파를 가로질러 적용하지 않습니다.
- 열적 비평형이나 큰 희박화에서는 이 이상기체 정체 상태 비교만으로 모델을 검증할 수 없습니다.
마하 수·누센 수와 모델 선택에 관한 질문
Ma < 0.3이면 기체 유동을 비압축성으로 봐도 되나요?
그 결과로 생기는 오차를 받아들일 수 있을 때만 그렇습니다. Ma = 0.3에서 정체 밀도는 정적 밀도보다 4.56% 크고, 정체 압력 상승은 ½ρv²보다 2.3% 큽니다. 0.3이라는 관행적 기준값보다는 결과에 필요한 물리량이 무엇이고 그 물리량에 어느 정도의 정확도가 필요한지로 판단하세요.
11 000 m에서 √(γRT)는 295.04 m/s인데 표에는 왜 295.07 m/s로 나오나요?
표의 값은 R ≈ 287.05 J/(kg·K)에 해당합니다. R을 287로 쓰면 c가 약 0.01% 낮아집니다. 음속을 여러 자릿수까지 비교할 때는 사용하는 솔버에 설정된 것과 같은 R 값을 써야 차이가 생기지 않습니다.
압력을 낮추면 Ma와 Kn 가운데 무엇이 바뀌나요?
온도와 속도가 같다면 c는 T에만 의존하므로 Ma는 그대로이고, λ는 1/p에 비례해 커집니다. 예제 3에서 압력을 101.3 kPa에서 1 kPa로 낮추면 Kn이 0.00673에서 0.682로 바뀝니다.
에어로졸 논문은 같은 입자에 대해 왜 다른 Kn을 보고하나요?
NIST의 미끄럼 보정 논문은 Kn = 2λ/Dp로 정의합니다. 즉 입자 지름이 아니라 반지름을 길이로 쓰는 셈입니다. 영역 경계를 적용하기 전에 Kn 정의부터 확인하세요.
충격파를 가로질러 등엔트로피 관계를 써도 되나요?
쓰면 안 됩니다. NASA Glenn 자료는 유동이 급격히 압축되면 충격파가 생기고 유동이 비가역이 되므로, 그때는 경사 충격파나 수직 충격파 관계를 적용해야 한다고 설명합니다.
참고 자료
- NASA Glenn: Isentropic Flow Equations. 정체 상태 비와 충격파에서 이 관계를 쓸 수 없다는 설명을 확인했습니다.
- NASA Glenn: Specific Heats. 표준 대기 조건 공기의 γ = 1.4를 확인했습니다.
- Cornell University (MAE 5070): Introduction to Flight Dynamics. 표 1.1의 고도 11 000 m 표준 대기 값을 사용했습니다.
- NIST: Slip Correction Measurements of Certified PSL Nanoparticles. 23 °C, 101.3 kPa에서 λ = 67.3 nm와 Kn = 2λ/Dp 정의를 확인했습니다.
- University of Utah (NASA 지원): Survey of Literature on Convective Heat Transfer Coefficients and Recovery Factors for High Atmosphere Thermometry. Kn 영역 범위와 그 범위가 근사적이라는 설명을 확인했습니다.
- NASA: Aerothermodynamics of the Mars Global Surveyor Spacecraft. 천이 0.1–10, 자유분자 Kn > 10을 확인했습니다.
- NASA (TM 107730): Reynolds Number Influences in Aeronautics. 106–107쪽의 누센 수와 미끄럼 논의를 참고했습니다.
압력비 항등식, 300 K 예제의 속도, 순항 마하 수, 유로 폭과 낮춘 압력은 이 사이트에서 정한 값입니다. 페이지에 실린 결과는 모두 사이트 테스트에서 다시 계산합니다. 마지막 확인: 2026-10-22.