실전 계산 노트

축소 모형에서 Re와 Fr을 동시에 맞출 수 있을까?

1:10 모형의 속도를 두 가지 기준으로 계산하고 서로 충돌하는 이유를 확인합니다.

축척 모형 계산 재확인: 2026-10-22

같은 모양만으로는 같은 유동이 되지 않습니다

기하학적 상사는 모양만 맞춰 줍니다. 역학적 상사가 성립하려면 힘의 비도 같아야 합니다. UT Austin의 상사 강의 노트는 이를 모형과 실물에서 서로 대응하는 유체 입자에 작용하는 압력·점성력·중력·관성력이 닮은 힘 다각형을 이루어야 한다고 설명합니다. 같은 유체와 같은 중력을 쓰면 모형에서 Re와 Fr을 동시에 맞출 수 없습니다. 그래서 실무에서는 관 내부 유동이나 자유 수면에서 멀리 떨어진 물체에는 Re를, 수면에 떠 있는 물체나 여수로 위의 흐름에는 Fr을 맞추는 쪽을 선택합니다.

이 노트는 세 사례를 계산합니다. 설명용 1:10 물체, 예인 수조의 1:25 선박 모형, 1:30 여수로 모형입니다. 속도, 길이, 유량은 모두 가정한 값입니다. 예제 2와 3의 물성은 IAEA 물성표의 20 °C 물(ν = 1.0020 × 10⁻⁶ m²/s, ρ = 998.2 kg/m³)과 OpenStax 교재의 20 °C 물 표면장력(σ = 0.0728 N/m)을 사용합니다. 어떤 결과도 실제 선박이나 구조물의 성능을 예측한 값이 아닙니다.

상사 기준별 축척 계수

길이비 λ = L모형/L실물, 같은 유체와 같은 중력일 때 모형/실물 비
물리량Fr 일치Re 일치
속도λ1/2λ−1
시간λ1/2λ2
유량λ5/2λ
힘 (ρU²L²)λ31
압력 (ρU²)λλ−2

예를 들어 Fr을 맞춘 1:25 모형에서는 속도가 1/5, 시간이 1/5, 힘이 1/15,625로 줄어듭니다. 표의 각 행은 맞춘 무차원수와, 두 축척에서 압력 계수가 같다는 조건에서 바로 유도됩니다. Fr을 맞추면 맞추지 못한 Re의 비는 λ3/2가 되고, Re를 맞추면 맞추지 못한 Fr의 비는 λ−3/2가 됩니다. MIT 2.154 강의 노트도 선박에 대해 같은 결론을 제시합니다. Fr 상사에서는 모형 속도가 선박 속도를 √η(η = 실물 길이/모형 길이)로 나눈 값이 되고, Re까지 맞추려면 모형 유체의 운동 점성 계수를 η3/2배 작게 해야 하는데, 큰 수조에서 쓸 수 있는 그런 유체는 거의 없다고 설명합니다.

세 가지 모형 시험 계산

예제 1. 1:10 물체에서 어떤 속도가 어떤 수를 맞추는가

주어진 값(설명용). 길이 10 m인 수면 위 물체가 5 m/s로 움직이고, 기하학적으로 닮은 길이 1 m 모형으로 시험한다고 가정합니다. 실물과 모형 모두 반올림 상수 ρ = 1000 kg/m³, μ = 0.001 Pa·s, g = 9.81 m/s²를 쓰므로 ν = 10⁻⁶ m²/s입니다. L은 물체의 대표 길이이며 개수로의 수심을 뜻하지 않습니다.

실물의 두 무차원수

Re실물 = 1000 × 5 × 10 / 0.001 = 50,000,000

Fr실물 = 5 / √(9.81 × 10) ≈ 0.5048

첫 숫자는 점성에 대한 관성의 척도이고, 둘째 숫자는 중력에 관련된 척도입니다. 물체 길이로 계산한 Fr이 1보다 작다고 해서 주위 흐름을 개수로의 상류라고 부르면 안 됩니다.

Fr을 맞추는 모형 속도

모형과 실물의 중력이 같으면 v모형/√L모형 = v실물/√L실물이어야 합니다. 길이비 λ = L모형/L실물 = 0.1이므로 속도비는 √λ입니다.

v모형 = 5 × √0.1 ≈ 1.5811 m/s

이 속도에서 Fr모형은 약 0.5048로 실물과 같지만 Re모형은 약 1,581,139입니다. 비율로 보면 Re모형/Re실물 = λ3/2 ≈ 0.03162이므로, 점성에 대한 상대적 척도는 실물의 약 3.16%에 불과합니다.

Re를 맞추는 모형 속도

같은 유체에서 Re를 맞추려면 v모형L모형 = v실물L실물이어야 하므로 모형 속도는 5 × 10/1 = 50 m/s가 필요합니다. 이때 Fr모형 = 50/√9.81 ≈ 15.9638이 되어 실물 Fr의 약 31.62배가 됩니다. 50 m/s는 실물 속도의 10배이므로, 수면에서 모형을 이 속도로 끌면 실물에는 없는 큰 파도와 물보라가 생겨 중력이 관여하는 현상은 전혀 다른 모습이 됩니다.

길이 1 m 모형에 적용하는 세 가지 속도
조건속도 (m/s)ReFr
실물과 같은 속도55,000,0001.5964
Fr 일치1.5811약 1,581,1390.5048
Re 일치5050,000,00015.9638

표의 Fr 일치 행은 반올림하지 않은 속도 5√0.1로 계산했습니다. 표시된 1.5811을 그대로 입력하면 마지막 자리에 작은 차이가 생깁니다.

두 조건을 모두 맞추려면

Fr 일치 속도를 유지하면서 Re까지 맞추려면 모형 유체의 운동 점성 계수가 실물보다 약 32배 작은 ν모형 = λ3/2ν실물 = 3.1623×10⁻⁸ m²/s여야 합니다. 이 값은 식에서 유도한 필요 조건이며, 실제로 쓸 수 있는 유체를 추천하는 값이 아닙니다. 밀도까지 바꾼다면 μ = ρν 관계를 일관되게 다시 맞춰야 합니다.

예제 2. 예인 수조의 1:25 선박 모형

주어진 값. 수선 길이 100 m, 선속 7.5 m/s, 모형 축척 1:25(L모형 = 4 m)를 가정합니다. 계산을 단순하게 하려고 선박과 모형 모두 20 °C 담수에 있다고 봅니다(IAEA: ν = 1.0020 × 10⁻⁶ m²/s, ρ = 998.2 kg/m³, σ = 0.0728 N/m). 해수는 밀도와 점성이 조금 다르지만 이 예제에서는 그 차이를 무시합니다.

Fr = 7.5/√(9.81 × 100) ≈ 0.2395, v모형 = 7.5 × √(1/25) = 1.5 m/s

Re선박 = 7.5 × 100 / (1.0020 × 10⁻⁶) ≈ 7.49 × 10⁸, Re모형 = 1.5 × 4 / (1.0020 × 10⁻⁶) ≈ 5.99 × 10⁶

Re 비 = (1/25)3/2 = 0.008, 두 수를 모두 맞추는 데 필요한 ν ≈ 8.016 × 10⁻⁹ m²/s

물에서 Re를 맞추는 모형 속도: 7.5 × 25 = 187.5 m/s

We모형 = 998.2 × 1.5² × 4 / 0.0728 ≈ 1.23 × 10⁵

힘의 축척(같은 밀도): 25³ = 15,625, 시간 축척 √(1/25) = 0.2이므로 실물에서 10 s인 주기는 수조에서 2 s가 됩니다

해석. Fr을 맞추면 수조에서 실현할 수 있는 1.5 m/s가 나오지만, Re를 맞추려면 187.5 m/s가 필요해 현실성이 없습니다. 따라서 모형은 선박보다 125배 작은 레이놀즈 수에서 시험하게 됩니다. MIT 노트에 따르면 예인 수조에서는 난류 촉진 장치를 일상적으로 사용해 모형 경계층이 선박 규모의 Re에서처럼 거동하도록 만든 뒤 Fr을 정밀하게 맞춥니다. 그래도 모형에서 측정한 마찰 저항에 15,625를 그대로 곱할 수는 없으며, 마찰 성분은 별도의 추정으로 다뤄야 합니다. 전체 저항을 마찰 성분과 나머지 성분으로 나누어, 나머지 성분만 Fr 상사로 환산하고 마찰 성분은 실물 Re에서 따로 계산하는 방식이 이런 이유로 쓰입니다. 모형의 웨버 수가 이처럼 크므로 이 축척에서는 표면장력이 아무 역할을 하지 않습니다. 길이가 큰 경우에 대해 MIT 노트가 제시하는 논리와 같습니다.

예제 3. 1:30 여수로 모형

주어진 값. 설계 유량 600 m³/s, 급경사 수로의 한 단면에서 평균 유속 12 m/s와 수심 1.5 m, 모형 축척 1:30을 가정합니다. 두 축척 모두 20 °C 담수(IAEA의 ν, OpenStax의 σ)를 씁니다. 개수로에서는 Fr의 길이로 수심을 사용합니다.

Q모형 = 600 × (1/30)5/2 = 600/4929.5 ≈ 0.1217 m³/s (121.7 L/s)

v모형 = 12/√30 ≈ 2.191 m/s, 수심 1.5/30 = 0.05 m

Fr = 12/√(9.81 × 1.5) ≈ 3.128(두 축척에서 같음)

수심 기준 Re: 실물 ≈ 1.80 × 10⁷, 모형 ≈ 1.09 × 10⁵, 비 303/2 ≈ 164.3

We모형 = 998.2 × 2.191² × 0.05 / 0.0728 ≈ 3291

실물에서 60분 동안 이어지는 홍수 수문곡선은 모형에서 60/√30 ≈ 10.95 min에 진행됩니다

해석. 먼저 유량 축척을 보면, 실물 600 m³/s가 모형에서 초당 약 122 L로 줄어들어 실험실 펌프로 공급할 수 있는 규모가 됩니다. 축척을 정할 때 이처럼 실험실의 최대 유량이 먼저 제약 조건이 되는 경우가 많습니다. UT Austin 노트는 여수로 흐름을 Fr 상사를 적용하는 대표 사례로 듭니다. Fr ≈ 3.1은 USGS 자료가 사류와 상류 사이의 전이와 연결하는 임계값 약 1보다 훨씬 크므로, 이 단면은 두 축척 모두에서 사류이고 하류의 도수도 축척에 맞는 같은 위치에 생깁니다. 모형 Re는 실물보다 164배 작지만 여전히 10⁵ 정도라서 흐름은 난류로 유지됩니다. 반면 모형 We는 약 3300으로 실물보다 훨씬 작습니다. 그래서 공기 연행이나 물보라처럼 표면장력이 관여하는 현상이 가장 먼저 축척에 맞지 않게 됩니다. 축척을 더 작게 잡으면 이 문제가 커지므로, λ를 정하기 전에 모형의 We와 Re를 먼저 계산해 보아야 합니다.

시험 결과를 비교할 때 남길 기록

Fr이 일치했다는 사실만으로 전체 항력, 표면 마찰 또는 실물 성능이 검증된 것은 아닙니다. 표면장력이 중요하면 웨버 수를, 압축성이 중요하면 마하 수를 추가로 비교해야 합니다. 모든 수를 무조건 계산하기보다 어떤 현상을 재현하려는지부터 정해야 어떤 수를 더 따져야 할지 판단할 수 있습니다.

모형 시험에서 Re와 Fr 맞추기에 관해 자주 묻는 질문

다른 시험 유체를 쓰면 두 수를 모두 맞출 수 있지 않나요?

필요한 운동 점성 계수가 너무 작습니다. 1:10 모형에서는 3.16 × 10⁻⁸ m²/s, 1:25 선박 모형에서는 8.0 × 10⁻⁹ m²/s가 필요한데, 이는 물의 1.0 × 10⁻⁶보다 훨씬 작은 값입니다. MIT 노트도 이런 성질을 가지면서 큰 수조에서 다룰 수 있는 유체는 거의 없다고 지적합니다.

Fr에는 물체 길이와 수심 중 무엇을 넣어야 하나요?

선박에서는 MIT 노트처럼 수선 길이를 흔히 씁니다. 개수로와 여수로에서는 수심(또는 수리 수심)을 씁니다. 두 정의 모두 쓸 수 있지만, 임계값 Fr ≈ 1은 개수로 정의에만 적용됩니다. 물체 길이 기준 Fr을 1과 비교해 사류·상류를 판정하면 안 됩니다.

Fr 상사 모형에서 측정한 힘은 어떻게 실물로 환산하나요?

유체 밀도가 같으면 두 축척에서 압력 계수가 같으므로 힘은 λ³, 압력은 λ에 비례합니다. 1:25 모형의 힘에는 15,625를 곱합니다. 다만 이 환산은 중력이 지배하는 성분에만 맞습니다. Re를 맞추지 못했으므로 점성 마찰 성분은 따로 보정해야 합니다.

모형 Re가 수백만이면 충분한가요?

무엇을 측정하느냐에 따라 다릅니다. 모형이 어느 정도 크면 경계층이 난류가 되고 난류 촉진 장치로 천이 위치를 고정할 수 있지만, 표면 마찰은 여전히 Re에 따라 달라집니다. 예제 2의 모형 Re 5.99 × 10⁶도 선박보다 두 자릿수 이상 작습니다. 독자가 축척 효과를 판단할 수 있도록 모든 결과에 모형 Re를 함께 적어 두세요.

참고 자료