관성 압력과 곡률 압력의 비
웨버 수는 흐름이 경계면을 밀어붙이는 압력과 표면장력이 경계면을 둥글게 유지하려는 압력을 비교합니다. 속도 U로 움직이는 유체가 만드는 압력은 ρU² 정도이고, 크기 L인 곡면에서 표면장력이 만드는 압력은 σ/L 정도입니다. 반지름 R인 구형 액적이라면 안쪽 압력이 바깥보다 2σ/R만큼 높습니다. 두 압력 척도를 나누면 다음 식이 나옵니다.
MIT 표면장력 강의 자료는 같은 식을 반지름 a로 써서 관성과 곡률 압력의 비라고 설명하고, MIT 상사 강의 노트는 웨버 수를 표면장력이 얼마나 중요한지 나타내는 수로 소개합니다. We가 1보다 훨씬 작으면 표면장력이 경계면 모양을 지키고, 훨씬 크면 흐름이 경계면을 변형시키거나 찢을 수 있습니다. 다만 그 경계가 정확히 어디인지는 ρ와 L을 어떻게 정의했는지에 따라 달라집니다.
어떤 밀도와 길이를 넣을까
계산기는 ρ(kg/m³), v(m/s), L(m), σ(N/m)을 받아 ρv²L/σ를 계산할 뿐이고, 어떤 정의를 쓸지는 사용자가 정해야 합니다. 같은 액적이라도 정의에 따라 값이 수백 배 차이 납니다.
| 문제 | ρ | v | L |
|---|---|---|---|
| 기체 속 액적이 공기력으로 쪼개지는 2차 파쇄 | 주변 기체 밀도 | 액적과 기체 사이 상대 속도(slip) | 액적 지름(일부 문헌은 반지름) |
| 빗방울 낙하 같은 크기 추정 | 공기 밀도 | 낙하 속도 | 반지름 a(MIT 강의 자료 표기) |
| 노즐에서 나온 액체 제트, 액막 | 액체 밀도 | 제트 속도 | 제트 지름 또는 액막 두께 |
Ansys CFX 이론 문서는 2차 파쇄의 웨버 수를 주변 유체 밀도, 상대 속도, 액적 지름으로 정의하고, 반지름으로 정의하는 경우도 있다고 따로 적어 둡니다. 반지름 기준 값은 지름 기준 값의 절반이므로, 파쇄 임계값을 가져올 때는 그 값이 어느 정의로 나온 것인지 먼저 확인합니다.
이 값으로 계산하기물·공기 20 °C 값으로 본 웨버 수 크기
아래 표는 예제에 쓰는 물성입니다. 공기 밀도 1.166 kg/m³은 IAEA 표 3.1의 98.1 kPa 값이고, 1.2043 kg/m³은 이 값을 이상기체 관계로 101.325 kPa에 맞춰 비례 환산한 값입니다(1.166 × 101.325 ÷ 98.1). 물 표면장력은 OpenStax 표의 0.0728 N/m을 쓰고, IAEA 표 3.3은 20 °C 포화수 값으로 72.70 mN/m(0.0727 N/m)을 제시합니다. 두 값의 차이는 0.1 %대여서 결과에 거의 영향을 주지 않습니다.
| 물성 | 물 | 공기 |
|---|---|---|
| 밀도 ρ | 998.2 kg/m³ (IAEA 표 3.3) | 1.166 kg/m³ at 98.1 kPa (IAEA 표 3.1), 1 atm 환산 1.2043 kg/m³ |
| 점성 μ | 1.0000 × 10⁻³ Pa·s (IAEA) | 1.819 × 10⁻⁵ Pa·s (IAEA) |
| 물-공기 표면장력 σ | 0.0728 N/m (OpenStax), 72.70 mN/m (IAEA) | |
크기 감각을 잡으려면 곡률 압력 척도 σ/L과, We가 1이 되는 속도 v = √(σ/(ρL))를 길이별로 보면 됩니다. 기체 쪽 속도는 공기 밀도 1.2043 kg/m³으로, 액체 쪽 속도는 물 밀도 998.2 kg/m³으로 계산했습니다.
| L | σ/L | 공기 밀도 기준 We = 1 속도 | 물 밀도 기준 We = 1 속도 |
|---|---|---|---|
| 10 μm | 7,280 Pa | 77.7 m/s | 2.70 m/s |
| 100 μm | 728 Pa | 24.6 m/s | 0.854 m/s |
| 1 mm | 72.8 Pa | 7.77 m/s | 0.270 m/s |
| 10 mm | 7.28 Pa | 2.46 m/s | 0.0854 m/s |
표에서 두 가지를 읽을 수 있습니다. 첫째, 액적이 작을수록 곡률 압력이 커져서 공기력만으로 변형시키려면 훨씬 빠른 상대 속도가 필요합니다. 둘째, 같은 길이와 속도에서 물 밀도 기준 We는 공기 밀도 기준 We보다 998.2 ÷ 1.2043 ≈ 829배 큽니다. 두 정의를 섞으면 결론이 완전히 뒤집힙니다.
분무 액적·빗방울·물줄기 계산
예제 1. 분무 노즐 액적이 공기 중에서 쪼개질까
주어진 값. 지름 0.5 mm인 물 액적이 정지한 공기에 대해 상대 속도 30 m/s로 움직인다고 가정합니다(지름과 속도는 가정한 운전 조건). 공기는 20 °C, 1 atm이고 ρg = 1.2043 kg/m³, 물 표면장력은 σ = 0.0728 N/m입니다.
단위 변환. d = 0.5 mm = 0.0005 m입니다. 표면장력 자료가 72.8 mN/m로 나와 있으면 1000으로 나눠 0.0728 N/m로 씁니다.
계산. 기체 동압 척도 ρgv² = 1.2043 × 30² ≈ 1,084 Pa이고, 곡률 압력 척도 σ/d = 0.0728 ÷ 0.0005 = 145.6 Pa입니다. 따라서 We = 1.2043 × 30² × 0.0005 ÷ 0.0728 ≈ 7.44입니다.
해석. Ansys CFX 문서는 이 정의(주변 기체 밀도, 상대 속도, 지름)를 쓰고, We가 1 부근에서 큰 변형이 시작되며 12보다 작으면 진동 파쇄, 12~50이면 bag breakup 영역이라고 정리합니다. 7.44는 12보다 작으므로 액적은 크게 출렁이지만 bag breakup 영역에는 들지 않습니다. 같은 액적이 We = 12에 닿으려면 v = √(12σ/(ρgd)) ≈ 38.1 m/s가 필요하고, We = 50에 닿으려면 약 77.7 m/s가 필요합니다. 반지름 기준으로 계산하면 We ≈ 3.72가 되어 같은 임계값과 비교할 수 없습니다. 물 밀도를 잘못 넣으면 We ≈ 6,170이 나와서 액적이 산산이 부서진다는 엉뚱한 결론에 이릅니다. 물 점성 1.0000 × 10⁻³ Pa·s로 구한 오네소르게 수 Oh = μ/√(ρσd)는 약 0.0052로 작아서, 점성이 파쇄를 크게 늦추는 경우는 아닙니다.
예제 2. 빗방울은 얼마나 커질 수 있나
주어진 값. MIT 표면장력 강의 자료는 빗방울 낙하를 크기 추정으로 다룹니다. 공기 항력 ρaU²a²이 무게 ρga³ 정도와 같다고 놓으면 낙하 속도는 U ∼ √(ρga/ρa)이고, 액적이 형태를 유지하려면 ρaU² ∼ ρga가 σ/a보다 작아야 합니다. 여기에 물 998.2 kg/m³, 공기 1.2043 kg/m³, σ = 0.0728 N/m, g = 9.81 m/s²을 넣고 반지름 a = 1 mm와 3 mm를 비교합니다.
단위 변환. a = 1 mm = 0.001 m, a = 3 mm = 0.003 m입니다. 이 자료는 a를 반지름으로 쓰므로 L에 반지름을 넣습니다.
계산. a = 1 mm이면 U ∼ √(998.2 × 9.81 × 0.001 ÷ 1.2043) ≈ 2.85 m/s이고, 공기 밀도 기준 We = 1.2043 × 2.85² × 0.001 ÷ 0.0728 ≈ 0.135입니다. a = 3 mm이면 U ∼ 4.94 m/s, We ≈ 1.21입니다. 이 추정에서는 We가 본드 수 Bo = ρga²/σ와 같아집니다. 실제로 a = 1 mm에서 Bo = 998.2 × 9.81 × 0.001² ÷ 0.0728 ≈ 0.135입니다. We = 1이 되는 반지름은 모세관 길이 ℓc = √(σ/(ρg)) = √(0.0728 ÷ (998.2 × 9.81)) ≈ 2.73 mm입니다.
해석. 반지름이 모세관 길이보다 작은 빗방울은 표면장력이 공기력을 견디고, 그보다 큰 빗방울은 공기력에 찢긴다는 것이 강의 자료의 결론입니다. 자료는 σ = 70 dyn/cm로 ℓc를 약 2 mm로 적었고, 위 계산의 2.73 mm도 같은 크기 수준입니다. 이 속도는 계수가 빠진 크기 추정이므로 실제 종단 속도로 쓰면 안 됩니다. 지름 기준으로 바꾸면 We는 두 배(0.269, 2.42)가 됩니다.
예제 3. 수도꼭지 물줄기의 액체 웨버 수
주어진 값. 지름 10 mm인 출구에서 물이 4 L/min으로 나온다고 가정합니다(유량과 지름은 가정값). 물은 998.2 kg/m³, σ = 0.0728 N/m입니다.
단위 변환. Q = 4 L/min = 4 × 10⁻³ m³ ÷ 60 s ≈ 6.67 × 10⁻⁵ m³/s입니다. 단면적은 A = π × 0.01² ÷ 4 ≈ 7.85 × 10⁻⁵ m²이므로 평균 속도는 v = Q/A ≈ 0.849 m/s입니다.
계산. 액체 밀도와 제트 지름으로 쓰면 We = 998.2 × 0.849² × 0.01 ÷ 0.0728 ≈ 98.8입니다. 압력으로 보면 ρv² ≈ 719 Pa이고, 원통형 물줄기 표면의 곡률 압력 σ/R은 0.0728 ÷ 0.005 = 14.56 Pa입니다. 같은 속도와 지름에 공기 밀도를 넣으면 We ≈ 0.119입니다.
해석. 출구에서 관성 압력이 곡률 압력을 크게 웃돌므로, 물은 방울져 떨어지는 대신 연속된 물줄기로 나옵니다. 반면 공기 기준 We가 0.1 수준이라 주변 공기가 물줄기를 찢는 효과는 작습니다. 이런 저속 물줄기가 아래쪽에서 방울로 끊어지는 주된 원인은 표면장력 자체가 만드는 모세관 불안정(Plateau–Rayleigh 불안정)입니다. 물줄기는 떨어지면서 빨라지고 가늘어지므로, We는 출구 조건으로 계산한 값이라고 밝혀 둡니다.
액적 파쇄 영역표 읽기
Ansys CFX 문서가 실험 문헌을 인용해 정리한 2차 파쇄 영역은 다음과 같습니다. 모든 값은 주변 기체 밀도, 상대 속도, 액적 지름으로 정의한 We 기준입니다.
| We 범위 | 영역 |
|---|---|
| We < 12 | 진동 파쇄(vibrational breakup) |
| 12 < We < 50 | bag breakup |
| 50 < We < 100 | bag-and-stamen breakup |
| 100 < We < 350 | sheet stripping |
| 350 < We | catastrophic breakup |
이 표를 쓸 때는 세 가지를 확인합니다. 첫째, 반지름 기준 We라면 값을 두 배로 바꾼 뒤 비교합니다. 둘째, 같은 문서는 Oh가 큰 경우에 별도 상관식을 씁니다. 점성은 액적 변형을 늦추므로 점성이 큰 액체에서는 임계 We가 높아진다고 보고 Oh를 함께 계산합니다. 셋째, 영역표는 파쇄가 어떤 모습으로 일어나는지를 알려 줄 뿐이고 얼마나 빨리 일어나는지는 알려 주지 않습니다. 액적이 고속 기류를 짧게 스쳐 지나가면 We가 높아도 파쇄가 끝나기 전에 감속될 수 있으므로, CFD 파쇄 모델은 파쇄 시간도 함께 계산합니다.
웨버 수를 잘못 쓰는 흔한 경우
- 절대 속도를 넣는 경우. 공기력 파쇄에서는 액적과 기체 사이 상대 속도가 중요합니다. 기류와 같은 속도로 날아가는 액적은 지면에 대해 빨라도 We가 작습니다.
- 표면장력을 고정값으로 두는 경우. OpenStax 표에서 물 표면장력은 0 °C 0.0756 N/m, 20 °C 0.0728 N/m, 100 °C 0.0589 N/m이고, 비눗물은 약 0.0370 N/m입니다. 비눗물 값은 순수한 물의 절반 정도이므로, 계면활성제가 섞인 액체는 같은 조건에서 We가 두 배 가까이 커집니다.
- 노즐 지름과 액적 지름을 섞는 경우. 노즐 지름으로 계산한 We는 1차 분열(제트가 끊어지는 과정)을, 액적 지름으로 계산한 We는 2차 파쇄를 다룹니다. 서로 다른 문제의 수이므로 같은 임계값과 비교하지 않습니다.
- We만으로 판정하는 경우. 점성(Oh), 액적이 기류에 노출되는 시간, 주변 기체 난류가 결과를 바꿉니다. We는 1차 선별용으로 쓰고, 설계 판단은 같은 정의를 쓴 실험 자료나 검증된 모델로 합니다.
웨버 수 계산에서 자주 묻는 질문
액적 파쇄를 볼 때 ρ에 물 밀도를 넣나요, 공기 밀도를 넣나요?
기체가 액적을 찢는 2차 파쇄라면 주변 기체 밀도를 넣는 정의가 일반적이고, Ansys CFX 영역표도 이 정의를 씁니다. 20 °C 물과 공기에서는 두 정의가 약 829배 차이 나므로, 임계값을 비교하기 전에 출처의 정의부터 맞춥니다.
We가 12를 넘으면 액적이 반드시 쪼개지나요?
아닙니다. 12는 지름 기준 정의에서 bag breakup이 시작되는 대표값입니다. 점성이 큰 액체는 경계가 올라가고, 고속 기류에 노출되는 시간이 파쇄 시간보다 짧으면 쪼개지기 전에 감속됩니다. 반지름 기준 정의라면 같은 액적이 약 6에 해당합니다.
빗방울이 일정 크기 이상 커지지 않는 이유를 웨버 수로 설명할 수 있나요?
MIT 강의 자료의 크기 추정에서는 낙하하는 빗방울의 공기 기준 We가 본드 수와 같아지고, We가 1이 되는 반지름이 모세관 길이입니다. 20 °C 물에서 이 길이는 약 2.73 mm이고, 이보다 큰 방울은 공기력에 찢어진다고 설명합니다. 계수를 생략한 추정이므로 정확한 최대 크기가 아니라 크기 수준으로 읽습니다.
표면장력 단위가 dyn/cm로 나와 있으면 어떻게 바꾸나요?
1 dyn/cm는 1 mN/m과 같으므로 1000으로 나누면 N/m이 됩니다. 70 dyn/cm는 0.070 N/m, 72.70 mN/m는 0.0727 N/m입니다.
관련 무차원수
경계면 문제는 웨버 수 하나로 끝나지 않고 점성, 중력, 진동 주기를 함께 따져야 합니다.
- 레이놀즈 수 (Re): 같은 v와 L을 쓰면 We/Re = μv/σ, 즉 모세관 수가 됩니다. 점성이 표면장력과 견줄 만한지 판단할 때 씁니다.
- 프루드 수 (Fr): We/Fr² = ρgL²/σ는 속도가 빠진 본드 수입니다. 예제 2처럼 중력과 표면장력을 비교할 때 이 관계를 씁니다.
- 스트로할 수 (St): 모세관 시간 √(ρL³/σ)를 이송 시간 L/v로 나눠 제곱하면 We가 됩니다. 액적 진동이나 분무 맥동 주파수를 다룰 때 St와 함께 봅니다.
참고 자료
- MIT (J. W. M. Bush): Surface Tension, Lecture 3 slides. We = ρU²a/σ(관성/곡률 압력), 본드 수, 모세관 길이 약 2 mm, 빗방울 낙하 크기 추정
- Ansys: CFX Theory Guide, Secondary Breakup Models. 주변 유체 밀도·상대 속도·액적 지름 기준 We 정의, 반지름 정의 언급, We 1 부근 변형 시작, 파쇄 영역 12/50/100/350
- MIT OCW (2.154): Similitude lecture notes. 웨버 수가 표면장력의 중요도를 나타낸다는 설명
- UCF Pressbooks (OpenStax College Physics): Cohesion and Adhesion in Liquids: Surface Tension and Capillary Action. 물 표면장력 0 °C 0.0756, 20 °C 0.0728, 100 °C 0.0589 N/m, 비눗물 0.0370 N/m
- IAEA: Thermophysical Properties of Materials for Nuclear Engineering (2008). 표 3.1 건조 공기(98.1 kPa) 밀도·점성, 표 3.3 포화수 밀도·점성·표면장력
- NASA: Dimensional Analysis Handbook / Dimensionless Numbers. 웨버 수를 관성력과 표면장력의 비로 정의