작은 액적에서 어떤 힘을 비교하나요?
액적, 제트, 자유 표면을 다룰 때는 관성·점성·중력뿐 아니라 표면장력도 함께 고려해야 합니다. 여기서는 밀도와 점도, 계면장력이 모두 일정한 뉴턴 액체를 가정합니다. 계면활성제의 농도 구배, 증발, 접촉선 운동과 주변 기체의 영향은 이 척도 비교에 포함하지 않습니다. 다만 예제 3에서는 주변 기체의 영향을 명시적으로 넣어 계산합니다.
이 노트는 액적이 분열하는 속도나 공진 주파수를 예측하지 않습니다. 힘과 시간을 비교하기 전에 공통 길이, 상대 속도, 측정한 주파수를 어떻게 정해 두어야 하는지를 보여 줍니다.
길이의 정의부터 고정하기
| 변수 | 단위 | 의미 |
|---|---|---|
| ρ, μ | kg/m³, Pa·s | 액체 밀도와 점성 계수 |
| σ | N/m | 단일 계면의 표면장력 |
| L, R | m | 대표 지름과 구면 반지름 L/2 |
| v | m/s | 정의한 대표 상대 속도 |
| g, f | m/s², Hz | 중력 가속도와 주기 현상의 주파수 |
| Δp | Pa | 계면 양측의 압력차 |
주변 기체가 액적을 변형시키는 문제에서는 기체 밀도와 미끄럼 속도로 정의한 We가 필요합니다. 예제 1과 2는 액체 관성을 기준으로 하고 예제 3은 기체 기준 정의로 바꿉니다. 두 정의로 계산한 값을 같은 임계값과 비교하면 안 됩니다.
압력 척도로 무차원 비 유도하기
관성 압력 척도 ρv², 점성 응력 척도 μv/L, 곡률 압력 척도 σ/L, 중력 압력 척도 ρgL을 만듭니다. 각각의 비를 취하면 Re = ρvL/μ, We = ρv²L/σ, Bo = ρgL²/σ를 얻습니다. Fr = v/√(gL)이므로 Bo = We/Fr²입니다.
Oh = μ/√(ρσL) = √We/Re
Bo = We/Fr² = (L/ℓc)², ℓc = √(σ/(ρg))
Ca는 점성과 표면장력의 비이고, Oh는 속도와 관계없이 물성과 길이만으로 관성·점성·표면장력을 묶습니다. ℓc는 모세관 길이이며, MIT 표면장력 강의 슬라이드는 공기와 물의 경우 이 값을 약 2 mm로 제시합니다. 이런 항등식은 정의가 일관된지 검산하는 데 쓰며, 계면 형상이나 젖음 조건까지 정하지는 않습니다.
곡률 압력의 정확한 계수와 시간 척도
정지한 단일 구면 계면에서 Young–Laplace 압력차는 Δp = 2σ/R = 4σ/L입니다. 앞에서 쓴 σ/L은 크기 척도였으므로, 정확한 구면 압력을 구할 때는 계수 4를 따로 붙여야 합니다. 계면이 두 개인 비눗방울에는 이 식을 그대로 쓰지 않습니다.
거리 L을 이동하는 시간은 t이송 = L/v입니다. 관성과 계면 복원 압력의 크기를 ρL²/t² ≈ σ/L로 맞추면 관성-모세관 시간 t모세관 ≈ √(ρL³/σ)를 얻고, 따라서 We = (t모세관/t이송)²입니다. Ohnesorge 단위를 다룬 arXiv 리뷰 논문이 사용하는 점성-모세관 시간 t점성 = μL/σ을 함께 쓰면 t점성/t모세관 = Oh가 됩니다. 이 시간들은 선택한 길이에서 만든 척도이며 특정 진동 모드의 정확한 액적 진동 주기가 아닙니다.
주기 T = 1/f이면 St = fL/v = t이송/T입니다. 주파수가 무엇의 진동을 측정한 값인지 기록해야 합니다. 서로 다른 형상에서 St가 같다고 해서 진동 모드의 모양까지 같다고 할 수는 없습니다. 예를 들어 NASA Glenn의 Re = 150 원기둥 층류 검증 연구는 계산한 와류 방출을 실험값 St 0.179–0.182와 비교하는데, 이 값은 그 유동에만 해당합니다.
한 입력으로 네 계산기와 조합 검산하기
예제 1. 하나의 입력으로 네 계산기 사용하기
주어진 값(물과 비슷하지만 항등식이 잘 보이도록 고른 어림수입니다): ρ = 1000 kg/m³, μ = 0.001 Pa·s, σ = 0.072 N/m, L = 0.002 m, v = 0.5 m/s, g = 9.81 m/s², f = 50 Hz. f는 가상의 측정값이며 표면장력으로부터 예측한 주파수가 아닙니다.
Re = 1000; We = 6.94444; Fr = 3.56961; St = 0.2
Ca = 0.00694444; Oh = 0.00263523; Bo = 0.545
R = 0.001 m → 단일 구면의 Δp = 144 Pa
t이송 = 0.004 s; t모세관 ≈ 0.010541 s; T = 0.020 s
검산: (0.010541/0.004)² ≈ 6.94444이고 0.004/0.020 = 0.2입니다. 같은 입력으로 계산했는데도 이 항등식이 맞지 않으면, 지름과 반지름 기준이 섞였거나 밀도·속도 정의가 서로 다른 경우가 대부분입니다.
실제 물방울로 보기: 2 mm와 100 µm
예제 2. 중력이 모양을 바꾸는 물방울은 어느 쪽인가요?
주어진 값: 20 °C 물의 ρ = 998.2 kg/m³, μ = 1.0000 × 10⁻³ Pa·s(IAEA 표 3.3의 포화액 값을 저압 물의 근삿값으로 사용)와 σ = 0.0728 N/m(UCF/OpenStax)를 씁니다. 지름 2 mm와 100 µm는 가정값이며, 대략 빗방울과 분무 액적 크기에 해당합니다.
모세관 길이 ℓc = √(0.0728/(998.2 × 9.81)) = 2.727 mm
| 양 | L = 2 mm | L = 100 µm |
|---|---|---|
| Bo = ρgL²/σ | 0.538 | 0.001345 |
| Oh = μ/√(ρσL) | 0.002623 | 0.01173 |
| Δp = 4σ/L (Pa) | 145.6 | 2912 |
| t모세관 = √(ρL³/σ) (s) | 0.010473 | 1.171 × 10⁻⁴ |
| t점성 = μL/σ (s) | 2.747 × 10⁻⁵ | 1.374 × 10⁻⁶ |
해석: 지름 2 mm 물방울은 크기가 ℓc에 가깝고 Bo = 0.538도 무시할 만큼 작지 않습니다. 따라서 정지해 있거나 천천히 떨어지는 물방울은 구에서 눈에 띄게 벗어납니다. 100 µm 물방울에서는 Bo가 약 400분의 1로 작아져 표면장력이 모양을 유지하고, 라플라스 압력은 20배인 2912 Pa로 커집니다. Oh는 L−1/2에 비례해 커지지만 두 경우 모두 1보다 훨씬 작으므로, 점성은 어느 물방울의 형상 진동도 크게 감쇠시키지 못합니다. 예제 1과 비교하면 실제 물성을 썼을 때 t모세관이 1% 미만으로 달라집니다(0.010473 s와 0.010541 s). 결국 어림수 입력은 크기 정도를 비교하는 데에는 충분하지만, 다른 계산 결과와 다섯 자리까지 맞춰 보는 검산에는 실제 물성값을 써야 합니다.
주변 기체가 액적을 변형시키는 경우
Ansys CFX Theory Guide는 액적 웨버 수를 주변 유체 밀도, 미끄럼 속도, 입자 지름으로 We = ρF V²slip dP/σ와 같이 정의하고, Oh는 액적 물성으로 Oh = μP/√(ρP σ dP)와 같이 정의합니다. 같은 문서는 일부 문헌이 지름 대신 반지름을 쓴다는 점, We가 1 근처일 때부터 큰 변형이 시작된다는 점을 밝히고, 전형적인 영역을 진동 분열 12 미만, bag 분열 12–50, bag-and-stamen 분열 50–100, sheet stripping 100–350, catastrophic 분열 350 초과로 제시합니다.
예제 3. 공기 흐름 속의 물방울
주어진 값: σ = 0.0728 N/m, 공기 밀도 1.2043 kg/m³(IAEA 표 3.1의 98.1 kPa 값 1.166 kg/m³를 이상기체 관계로 101.325 kPa에 맞춰 환산), 물방울 지름 2 mm, 미끄럼 속도 10 m/s(가정값)입니다.
We기체 = 1.2043 × 10² × 0.002 / 0.0728 = 3.309 (bag 분열 경계보다 작음)
We기체 = 12가 되는 미끄럼 속도: v = √(12σ/(ρ기체 d)) = 19.04 m/s; We기체 = 50이면 38.87 m/s
100 µm 물방울에서 같은 We기체 = 12가 되는 속도: 85.17 m/s
액체와 기체의 밀도비 998.2/1.2043 = 829
해석: 같은 속도와 길이에서 액체 밀도로 정의한 We는 기체 기준 값보다 829배 큽니다. 그래서 액체 밀도로 계산한 예제 1의 We = 6.94444를 기체 기준으로 정한 분열 임계값 12와 비교하면 의미 없는 결론이 나옵니다. 위 경계값은 한 분류에서 인용한 전형적인 값이므로, 점성이 더 큰 액체(Oh가 큰 경우)나 반지름 기준 정의를 쓰면 경계가 달라집니다.
작게 만들었을 때와 해석의 한계
물성과 v를 고정하고 L을 10분의 1로 만들면 Re와 We는 10분의 1, Bo는 100분의 1이 됩니다. Fr는 √10배가 되고 t모세관은 10⁻³ᐟ²배가 됩니다. 따라서 물성과 속도를 그대로 두고 크기만 축소한 실험은 모든 힘의 비를 동시에 보존하지 못합니다.
- 분열 한계는 형상·주변 유체·변형 모드에 따라 달라지므로 We 하나로 확정하지 않습니다.
- 정지 구면의 압력차를 움직이며 찌그러진 액적의 모든 지점에 적용하지 않습니다.
- σ가 위치에 따라 달라지면 계면 접선 방향의 Marangoni 응력도 검토합니다.
- 위 항등식은 같은 기준 물성과 길이로 정의했을 때만 검산에 쓸 수 있습니다.
계면의 힘과 시간 비에 관한 질문
We에는 액체 밀도와 기체 밀도 가운데 무엇을 넣어야 하나요?
어느 쪽 관성이 계면을 변형시키는지에 따라 정합니다. 공기 흐름이 물방울을 깨뜨리는 문제라면 Ansys의 분열 영역처럼 기체 밀도와 미끄럼 속도를 씁니다. 액체 제트나 벽에 충돌하는 액적에서는 보통 액체 밀도를 씁니다. 20 °C 물과 공기에서는 두 정의의 값이 829배 차이 납니다.
구면 압력이 σ/L이 아니라 4σ/L인 이유는 무엇인가요?
앞에서 쓴 σ/L은 압력의 크기 정도만 나타내는 척도일 뿐입니다. 구에 대한 Young–Laplace 식은 2σ/R이고, L을 지름으로 두면 4σ/L이 됩니다. L을 반지름으로 정의하거나 계면이 두 개인 비눗방울을 다루면 계수가 다시 달라집니다.
t모세관이 물방울의 진동 주기인가요?
아닙니다. t모세관은 척도이며, 실제 진동 주기에는 모드마다 다른 상수가 붙습니다. 따라서 t모세관은 크기나 물성이 다른 물방울끼리 상대적으로 비교할 때 쓰고, 실험에서 측정한 진동 주파수를 직접 예측하는 데에는 쓰지 마세요.
Oh는 속도에 따라 달라지나요?
달라지지 않습니다. Oh = μ/√(ρσL)는 물성과 크기에만 의존하므로, 유속을 정하기 전 설계 초기 단계에서도 액체 종류와 액적 크기 조합을 분류하는 데 쓸 수 있습니다.
참고 자료
- MIT (J. W. M. Bush): Surface tension: capillary pressure, scaling, wetting. Bond 수와 공기·물의 모세관 길이 약 2 mm를 확인했습니다.
- arXiv 2112.06713: Spreading, Pinching, and Coalescence: The Ohnesorge Units. Oh와 점성-모세관 시간 ηD/Γ를 확인했습니다.
- Ansys: CFX Theory Guide, Secondary Breakup Models. 기체 기준 We와 Oh 정의, 전형적인 분열 영역을 확인했습니다.
- UCF Pressbooks (OpenStax College Physics): Surface Tension. 20 °C 물의 표면장력 0.0728 N/m를 사용했습니다.
- IAEA (2008): Thermophysical Properties of Materials for Nuclear Engineering. 표 3.1(건조 공기)과 표 3.3(포화수)을 사용했습니다.
- NASA Glenn / NPARC: Laminar Flow Over a Circular Cylinder. St = fD/U 정의와 Re = 150에서 실험 St 0.179–0.182를 확인했습니다.
예제 1의 어림수 입력, 물방울 크기, 미끄럼 속도는 이 사이트에서 정한 가정값입니다. 페이지에 실린 결과는 모두 사이트 테스트에서 다시 계산합니다. 마지막 확인: 2026-10-22.