계산 방법과 해석

누센 수 (Knudsen Number)

공식에 값을 넣는 방법과 결과를 읽을 때 확인할 조건을 정리했습니다.

분자 이동 거리와 장치 크기를 비교하는 이유

Navier–Stokes 방정식과 Fourier 열전도 법칙은 기체 분자가 물체에 닿기 전에 서로 충분히 많이 충돌한다는 전제 위에 서 있습니다. 누센 수 Kn은 분자가 한 번 충돌한 뒤 다음 충돌까지 평균적으로 이동하는 거리 λ를 유로 폭, 간극, 물체 크기 같은 길이 L과 비교해서 이 전제가 맞는지 확인합니다. NASA 지원 고층 대기 온도계측 문헌 조사 보고서도 Kn이 매우 작으면 연속체 개념이 그대로 성립하고 유동이 Re와 Ma만으로 정해지며, Kn이 커지면 연속체 개념을 수정해야 한다고 설명합니다.

CFD 엔지니어가 Kn을 확인하는 시점은 대개 세 가지입니다. 진공 장비처럼 압력이 낮아 λ가 길어질 때, MEMS 소자처럼 L이 마이크로미터 수준으로 작을 때, 고고도 비행체나 행성 대기 진입체처럼 두 조건이 함께 나타날 때입니다. 앞의 두 경우는 지상 장비에서 흔히 만나고, 마지막 경우는 우주선이나 탐사선의 공력 가열을 예측할 때 피할 수 없습니다. 셋 모두 벽면 경계조건을 no-slip으로 둘지, 슬립 경계조건을 쓸지, 아예 입자 기반 해석(DSMC)으로 넘어갈지를 정하는 출발점이 됩니다.

Kn = λ/L 식과 평균 자유 행로 계산

Kn = λ / L,   λ = kBT / (√2 π d² p)

MIT 재료 전달현상 강의 자료(3.185)는 Kn을 기체 분자 평균 자유 행로와 공정 길이의 비로 정의하고, 강체 구 모델로 Kn = kBT/(√2 π d² p L)이라는 식을 제시합니다. 분모의 L을 떼어 내면 위의 λ 식이 됩니다. 여기서 kB는 볼츠만 상수, T는 절대온도, d는 분자 지름, p는 압력입니다. 이 식에서 바로 알 수 있듯이 온도가 같으면 λ는 압력에 반비례합니다. 압력을 1/10로 낮추면 λ는 10배가 되고, 같은 장치에서 Kn도 10배가 됩니다.

Kn은 Re·Ma와도 연결됩니다. NIST 슬립 보정 논문의 식 (10)은 기체 운동론의 점성 관계를 μ = φρc̄λ로 쓰는데, c̄는 평균 분자 속도이고 음속과 같은 크기입니다. 이 관계를 Re = ρUL/μ와 Ma = U/a에 대입하면 Kn이 Ma/Re에 비례한다는 결과를 얻습니다. 비례 계수는 λ를 어떤 모델로 정의하느냐에 따라 달라집니다. NASA TM 107730도 앞전 근처의 저밀도 효과를 "low-density (low Reynolds number) effects"처럼 저 Reynolds 수 효과와 함께 적습니다.

계산기에는 λ와 L을 같은 길이 단위(m)로 넣습니다. nm는 10⁻⁹, μm는 10⁻⁶을 곱해서 바꿉니다.

이 값으로 계산하기

압력을 낮추면 λ와 Kn이 얼마나 커지나

NIST 논문은 공기 평균 자유 행로를 23 °C, 101.3 kPa에서 λ₀ = 67.3 nm로 두고, 다른 압력과 온도의 λ는 Willeke 관계식(식 (11))으로 보정합니다. 온도가 같으면 이 식은 λ = λ₀(p₀/p)로 줄어듭니다. 아래 표는 이 비례 관계로 환산한 값이며, 측정값이 아니라 기체 운동론에 따른 환산값입니다. 영역 이름은 고층 대기 보고서의 구분(Kn < 0.01 연속체, 0.01~0.1 슬립, 0.1~10 천이, 10 초과 자유분자)을 따랐습니다.

23 °C 공기에서 압력별 평균 자유 행로와 Kn (λ₀ = 67.3 nm, λ∝1/p로 환산)
압력 pλKn (L = 1 mm)Kn (L = 25 mm)
101.3 kPa67.3 nm6.73 × 10⁻⁵ (연속체)2.69 × 10⁻⁶ (연속체)
10.13 kPa673 nm6.73 × 10⁻⁴ (연속체)2.69 × 10⁻⁵ (연속체)
1.013 kPa6.73 μm0.00673 (연속체)2.69 × 10⁻⁴ (연속체)
101.3 Pa67.3 μm0.0673 (슬립)0.00269 (연속체)
10 Pa0.682 mm0.682 (천이)0.0273 (슬립)
1 Pa6.82 mm6.82 (천이)0.273 (천이)

NIST 논문의 불확도 표에도 압력을 낮춘 조건의 평균 자유 행로가 673 nm로 실려 있어, 10.13 kPa 행과 같은 크기입니다. 표에서 보듯이 대기압의 공기는 1 mm 유로에서도 Kn이 10⁻⁴보다 작아서 연속체 가정에 여유가 큽니다. 반대로 수십 Pa 이하로 내려가면 지름 25 mm 배관도 슬립 영역에 들어갑니다. 진공 장비에서 CFD 결과가 압력 측정과 맞지 않을 때 먼저 확인할 항목이 이 표의 크기 감각입니다. 표를 읽을 때는 압력이 한 자릿수 내려갈 때마다 λ와 Kn이 정확히 한 자릿수씩 올라간다는 점만 기억하면 됩니다. 또 L이 25배 큰 배관에서는 같은 압력에서도 Kn이 1/25로 줄어들기 때문에, 같은 챔버 안에서도 넓은 배관과 좁은 틈은 서로 다른 칸에 놓입니다.

진공 장비·미세 간극·화성 대기 감속에서 Kn 구하기

예제 1. 대기압 공기 속 5 μm 간극

주어진 값: 23 °C, 101.3 kPa 공기의 λ = 67.3 nm(NIST). 간극 L = 5 μm는 MEMS 구조물 사이 틈을 생각한 가정값입니다.

단위 변환: λ = 67.3 nm = 67.3 × 10⁻⁹ m, L = 5 μm = 5 × 10⁻⁶ m입니다.

계산: Kn = 67.3 × 10⁻⁹ ÷ (5 × 10⁻⁶) = 0.0135입니다. Kn = 0.01이 되는 간극은 67.3 nm ÷ 0.01 = 6.73 μm이고, Kn = 0.1이 되는 간극은 0.673 μm입니다.

해석: 고층 대기 보고서의 구분으로는 슬립 영역 초입입니다. 그런데 NASA TM 107730이 인용한 Moss와 Bird의 그림은 Kn이 0.03을 넘을 때부터 Navier–Stokes 식에 슬립 효과를 넣어야 한다고 봅니다. 이 기준으로는 0.0135가 아직 no-slip으로 다룰 수 있는 범위입니다. 어느 기준을 따르느냐에 따라 같은 간극이 슬립 영역이 되기도 하고 연속체 영역이 되기도 하는 셈입니다. 문헌 경계가 이렇게 두 배 이상 차이 나는 구간에서는 no-slip 해석과 슬립 경계조건 해석을 둘 다 돌려 감쇠력이나 유량 차이를 비교하는 편이 안전합니다.

예제 2. 10 Pa 진공 챔버의 배관과 기판 틈

주어진 값: 챔버 압력 10 Pa, 기체 온도 23 °C, 배기 배관 안지름 25 mm, 기판 홀더와 벽 사이 틈 1 mm는 모두 가정한 운전 조건입니다. 기준 λ₀ = 67.3 nm(23 °C, 101.3 kPa, NIST)입니다.

단위 변환: 10 Pa = 0.01 kPa이므로 압력비는 101.3 ÷ 0.01 = 10,130입니다. 온도가 같다고 보고 λ∝1/p를 적용하면 λ = 67.3 nm × 10,130 = 6.82 × 10⁻⁴ m(0.682 mm)입니다.

여기서 온도를 23 °C로 고정한 것은 계산을 단순하게 하려는 가정입니다. 실제 챔버에서 가열된 기판 주변 기체가 더 뜨겁다면 λ는 이 값보다 길어지고 Kn도 커집니다.

계산: 배관은 Kn = 6.82 × 10⁻⁴ ÷ 0.025 = 0.0273, 기판 틈은 Kn = 6.82 × 10⁻⁴ ÷ 0.001 = 0.682입니다.

해석: 같은 챔버 안에서도 배관은 슬립 영역이고 기판 틈은 천이 영역입니다. 장치 전체를 하나의 Kn으로 판단하지 말고, 해석 결과에 영향이 큰 가장 좁은 유로마다 Kn을 따로 계산해야 합니다. 천이 영역에서는 슬립 경계조건을 붙인 Navier–Stokes 해석도 신뢰하기 어려우므로 DSMC 같은 입자 기반 방법을 검토합니다.

예제 3. 화성 대기 감속 중 태양전지판 위 전력 션트

주어진 값: NASA의 Mars Global Surveyor 공력열 보고서는 유동장 해석 결과로 전력 션트 바로 위의 국소 평균 자유 행로를 약 3 cm로 얻었고, 션트 한 구간의 크기를 길이 약 12 in, 폭 2 in, 높이 1 in로 적었습니다.

단위 변환: 1 in = 0.0254 m이므로 길이 0.3048 m, 폭 0.0508 m, 높이 0.0254 m입니다. λ = 3 cm = 0.03 m입니다.

계산: 길이 기준 Kn = 0.03 ÷ 0.3048 = 0.0984, 폭 기준 Kn = 0.03 ÷ 0.0508 = 0.591, 높이 기준 Kn = 0.03 ÷ 0.0254 = 1.18입니다.

세 값 모두 같은 λ에서 나왔으므로, 차이는 오로지 분모에 넣은 치수에서 생깁니다. 인치 단위 도면을 그대로 쓰는 경우에는 λ도 인치로 바꾸거나 치수를 미터로 바꿔서 단위를 반드시 맞춰야 합니다.

해석: 어떤 치수를 L로 고르느냐에 따라 슬립 경계 바로 아래부터 천이 영역 한가운데까지 결과가 바뀝니다. 보고서는 λ가 기기 크기와 같은 규모라고 판단했고, 국소 가열을 볼 때는 가장 작은 치수가 결정적입니다. 같은 보고서는 우주선 전체 기준으로도 공칭 근점 밀도에서 Kn이 약 0.2라서 천이 영역에 깊이 들어간다고 적었습니다. 자유류 λ 대신 물체 근처의 국소 λ를 쓰면 Kn을 더 정확하게 판단할 수 있다는 점도 같은 보고서에 나옵니다.

문헌마다 다른 Kn 영역 경계

Kn 영역 경계는 물리 상수가 아니라 모델 선택을 돕는 관행값입니다. 고층 대기 보고서는 영역 구분을 제시하면서 "approximate only", 곧 근사일 뿐이라고 명시했습니다. 아래 표처럼 출처마다 숫자와 나누는 방식이 다릅니다.

출처별 Kn 영역 구분 비교
출처연속체·슬립천이·자유분자
고층 대기 온도계측 문헌 조사(NASA 지원)Kn < 0.01 연속체, 0.01~0.1 슬립0.1~10 천이, Kn > 10 자유분자
NASA TM 107730 (Moss·Bird 그림 인용)Kn < 0.2에서 Navier–Stokes 적용 가능, 0.03 초과 시 슬립 효과 포함약 1부터 자유분자 효과 시작, 천이는 대략 0.2~1.0
MIT 3.185 강의 자료Kn < 0.01이면 연속체 기체 모델Kn > 1이면 가시선(line-of-sight) 모델
NASA Mars Global Surveyor 보고서(별도 구분 없음)0.1~10 천이, Kn > 10 자유분자
이 사이트 계산기 표시Kn < 0.01 연속체, 0.01~0.1 미끄럼0.1 이상 천이/자유 분자

판단 기준으로 쓰려면 경계값 하나보다 결과의 민감도를 보는 편이 낫습니다. Kn이 경계값의 절반에서 두 배 사이에 있으면 인접한 두 모델을 모두 적용해 보고, 관심 물리량(유량, 항력, 열유속)이 얼마나 달라지는지 확인합니다. Mars Global Surveyor 보고서에서도 천이 유동 효과가 자유분자 값에 비해 항력계수를 약 11% 낮췄습니다.

Kn 계산에서 틀리기 쉬운 지점

누센 수 계산에서 자주 묻는 질문

특성 길이 L은 장치의 어느 치수로 잡아야 하나요?

유동을 제한하는 가장 작은 치수, 예를 들어 평행판 간극, 미세 유로 폭, 입자 지름을 먼저 고릅니다. 장치 전체 길이를 쓰면 Kn이 실제보다 작게 나와 희박 효과를 놓칩니다. 예제 3처럼 한 물체에서도 치수마다 Kn이 열 배 이상 달라질 수 있으므로, 보고서에는 어떤 L을 썼는지 함께 적습니다.

에어로졸 논문의 Kn이 이 계산기 값의 두 배인 이유는 무엇인가요?

NIST 슬립 보정 논문을 비롯한 에어로졸 문헌은 Kn = 2λ/Dp, 곧 입자 반지름 기준으로 정의합니다. 입자 지름을 L로 넣는 이 계산기의 Kn = λ/L과 비교하면 정확히 두 배입니다. 에어로졸 문헌의 경계값이나 보정식을 쓸 때는 어느 정의인지 먼저 맞춘 다음 비교합니다.

대기압 공기의 λ 약 68 nm를 다른 조건에 그대로 써도 되나요?

안 됩니다. 이 값은 NIST가 정리한 23 °C, 101.3 kPa 공기의 67.3 nm를 반올림한 값입니다. 압력이 1/100이 되면 λ는 100배가 되고, 온도가 바뀌면 추가 보정이 필요합니다. 다른 기체라면 분자 지름이 달라 λ 자체가 다릅니다.

슬립 영역에서는 CFD 설정을 어떻게 바꾸나요?

슬립 영역에서는 연속체 방정식을 그대로 쓰되 벽면에 속도 슬립과 온도 점프 경계조건을 붙이는 방식이 일반적입니다. NASA TM 107730도 Kn > 0.03이면 Navier–Stokes 식에 슬립 효과를 포함해야 한다고 적었습니다. Kn이 0.1을 넘어 천이 영역으로 들어가면 Mars Global Surveyor 보고서처럼 DSMC로 해석하는 경우가 많습니다.

Kn으로 연속체 가정을 확인한 뒤에 압축성과 점성 효과를 판단할 때 이어서 계산하는 수입니다.

참고 자료