하나의 Re로는 온도와 농도 분포를 알 수 없습니다
같은 속도장 안에서도 운동량, 열, 용질은 서로 다른 속도로 확산됩니다. 여기서는 뉴턴 유체이고 물성이 일정하며 확산이 등방적이라고 가정합니다. 반응과 내부 발열은 없다고 봅니다. 점성이나 확산 계수가 온도·농도에 크게 의존하면 이 단순 비교를 그대로 쓰지 말고 연성된 모델로 다시 검토해야 합니다.
먼저 같은 노출 시간 동안 각 양이 얼마나 확산되는지 비교하고, 그다음 벽을 따라 흐르는 대류 경계층과 무엇이 다른지 구분합니다. 열확산 계수 α와 물질 확산 계수 D는 단위가 모두 m²/s이지만 서로 다른 입력값입니다. 액체에서는 두 값의 차이가 특히 큽니다. MIT 3.185 강의 노트는 액체에서 물질 전달 Prandtl 수(Schmidt 수)가 한결같이 1보다 훨씬 크고, 열전달 Prandtl 수는 그보다 작으며 액체 금속에서는 1보다 크게 작아질 수 있다고 설명합니다.
입력과 단위
| 변수 | 단위 | 의미 |
|---|---|---|
| ρ, μ | kg/m³, Pa·s | 밀도와 점성 계수 |
| ν = μ/ρ | m²/s | 운동량 확산 계수 |
| k, cₚ | W/(m·K), J/(kg·K) | 열전도율과 정압 비열 |
| α = k/(ρcₚ) | m²/s | 열확산 계수 |
| D | m²/s | 해당 용질의 물질 확산 계수 |
| v, L, t | m/s, m, s | 대표 이송 속도, 길이, 노출 시간 |
| h, q″ | W/(m²·K), W/m² | 대류 열전달 계수와 면적당 열유속 |
물질 확산 계수의 D와 관 지름 D는 문헌에 따라 같은 글자를 사용합니다. 이 노트에서 D는 확산 계수를 뜻합니다. 아래 예제 3에는 두 양이 함께 나오므로 그 예제에서는 관 지름을 d로 적습니다. 출처를 옮겨 다닐 때는 기호보다 단위를 먼저 확인하세요.
확산 방정식에서 길이 척도 얻기
정지 매질의 열확산 식 ∂T/∂t = α∂²T/∂y²를 ΔT/t ≈ αΔT/δ²로 크기 비교하면 δ ≈ √(αt)를 얻습니다. 운동량과 물질도 같은 방식으로 각각 δν ≈ √(νt), δD ≈ √(Dt)입니다. 이 식은 크기 척도일 뿐이며 99% 경계층 두께의 정확한 상수까지 정하지 않습니다. 경계 조건과 두께 정의에 따라 앞에 붙는 계수가 달라집니다.
δν/δα ≈ √Pr; δν/δD ≈ √Sc
위 제곱근 비는 같은 노출 시간을 둔 순수 확산 비교에서만 성립합니다. 벽 근처 속도가 위치에 따라 달라지고 그 속도가 온도·농도 분포와 연결되는 대류 경계층의 두께 비로 그대로 쓰면 안 됩니다. 층류 평판 경계층에 대해 MIT 3.185 노트는 Pr이 약 0.6보다 클 때 δu/δT = 0.975 Pr1/3을 제시합니다. 지수가 1/2이 아니라 1/3인 이유는 얇은 열경계층 안에서 속도 분포가 거의 선형이기 때문입니다. 두 추정이 실제로 얼마나 다른지는 예제 2에서 확인합니다.
이송 시간과 연결한 검산 예제
예제 1. 하나의 속도와 세 가지 확산 길이
주어진 값(항등식이 잘 보이도록 고른 어림수이며 실측 유체가 아닙니다): ν = 10⁻⁶, α = 2×10⁻⁷, D = 10⁻⁹ m²/s, v = 0.2 m/s, L = 0.05 m. 계산기에서는 ρ = 1000, μ = 0.001, k = 0.6, cₚ = 3000의 SI 입력으로 이 ν와 α를 만들 수 있으므로 Reynolds, Prandtl, Peclet 계산기로 같은 결과를 확인할 수 있습니다.
t이송 = L/v = 0.25 s
t이송 동안의 확산 척도: δν = 0.500 mm, δα = 0.2236 mm, δD = 0.01581 mm
Re = vL/ν = 10000; Pr = 5; Sc = 1000
열 Pe = vL/α = 50000 = Re × Pr
물질 Pe = vL/D = 10000000 = Re × Sc
δ/L ≈ 1/√Pe는 같은 시간 척도 논리를 다른 방향에서 검산하는 식입니다. 실제로 1/√50000 × 50 mm = 0.2236 mm가 되어 위 값과 일치합니다. 큰 Pe는 선택한 길이 전체를 확산이 가로지르는 시간보다 이송이 그 길이를 지나가는 시간이 짧다는 뜻입니다. 그렇다고 벽에 수직인 짧은 거리에서 확산이 사라지는 것은 아닙니다. 0.016 mm 두께의 용질 층이 바로 그 짧은 거리에 놓이며, 그 안에서는 확산이 전달을 지배할 수 있습니다.
실제 물성으로 보기: 물과 용존 산소
위의 어림수 입력에서는 Sc가 온도에 따라 얼마나 크게 변하는지 드러나지 않습니다. 아래 표는 IAEA 표 3.3의 포화액 물 자료를 저압 액체 물의 근삿값으로 사용하고, 물속 O₂ 확산 계수는 Cornell 자료의 Wilke–Chang 추정값을 사용합니다. Cornell 자료는 이 추정이 비해리성 용질의 희석 용액에서 대개 ±10% 정도 정확하다고 설명합니다.
| 물성 | 20 °C | 60 °C | 출처 |
|---|---|---|---|
| ρ (kg/m³) | 998.2 | 983.2 | IAEA 표 3.3 |
| ν (m²/s) | 1.0020 × 10⁻⁶ | 4.757 × 10⁻⁷ | IAEA 표 3.3 |
| k (W/(m·K)) | 0.5995 | 0.6510 | IAEA 표 3.3 |
| cₚ (J/(kg·K)) | 4185 | 4183 | IAEA 표 3.3 |
| Pr (표 값) | 6.981 | 3.005 | IAEA 표 3.3 |
| O₂의 D (m²/s) | 1.97 × 10⁻⁹ | 4.82 × 10⁻⁹ | Cornell 표 2 |
예제 2. 정지한 물에 1초 동안 산소가 녹아드는 경우
주어진 값: 물성은 표에 실린 20 °C 값을 쓰고, 노출 시간은 t = 1 s로 둡니다. 노출 시간은 출처에서 가져온 값이 아니라 가정값이며, 예를 들어 상승하는 기포의 표면이 주변 액체와 짧게 접촉하는 상황을 생각합니다.
α = k/(ρcₚ) = 0.5995/(998.2 × 4185) = 1.4351 × 10⁻⁷ m²/s
Pr = ν/α = 6.982 (표 값은 6.981이며 차이는 k와 cₚ의 반올림에서 생깁니다)
Sc = ν/D = 1.0020 × 10⁻⁶ / 1.97 × 10⁻⁹ = 508.6
1초 뒤: δν = 1.001 mm, δα = 0.3788 mm, δD = 0.0444 mm
같은 시간 기준의 비: √Pr = 2.642, √Sc = 22.55; 층류 평판 식 0.975 Pr1/3 = 1.863
60 °C에서는 Sc = 4.757 × 10⁻⁷ / 4.82 × 10⁻⁹ = 98.69
해석: 산소는 1초 동안 물속으로 약 44 µm만 침투하며, 이는 운동량 확산 길이의 약 23분의 1입니다. 따라서 액체 쪽 농도층은 매우 얇습니다. CFD에서 이 농도층을 해상하려면 속도장을 해상하는 데 필요한 격자보다 훨씬 촘촘한 격자를 계면 근처에 배치해야 합니다. 20 °C에서 60 °C로 가열하면 ν는 줄어들고 D는 동시에 커지므로 Sc가 약 5.2분의 1로 떨어집니다. 그래서 잘못된 온도에서 가져온 Schmidt 수를 그대로 쓰면 운동량층과 농도층의 두께 비 √Sc를 두 배 넘게 잘못 판단하게 됩니다. 마지막으로 2.642와 1.863의 차이는 같은 시간 기준으로 구한 비가 순수 확산 추정일 뿐이며 경계층 해가 아니라는 점을 다시 보여 줍니다.
Nu는 주어진 h를 무차원화합니다
벽의 열유속을 q″ = h(T벽 − T기준)으로 정의하고 Fourier 법칙 q″ = −k(∂T/∂n)벽과 연결하면 h에는 벽 온도 기울기에 관한 정보가 들어 있습니다. 단순한 선형 온도층을 유효 두께 δeff로 정의한 경우에만 h = k/δeff, Nu = hL/k = L/δeff라고 쓸 수 있습니다. 그 δeff를 앞의 순수 확산 길이나 99% 두께와 같은 값으로 놓지 마세요.
예제 3. 주어진 h에서 Nu로, 알려진 Nu에서 다시 h로
A. 별도로 주어진 h = 120 W/(m²·K), k = 0.6 W/(m·K), L = 0.05 m라면 Nu = 10입니다. 온도차가 20 K이면 q″ = 2400 W/m²입니다. 여기서 120이라는 h는 예제의 입력값이며 Pe에서 예측한 값이 아닙니다.
B. 이번에는 위 표의 20 °C 물이 매끈한 원형 관 안을 흐른다고 봅니다. 평균 유속 0.1 m/s와 안지름 d = 10 mm는 가정값이고, 입구에서 충분히 떨어진 위치이며 벽 온도가 균일하다고 둡니다. INL RELAP-7 이론 매뉴얼은 원형 관의 완전발달 층류에 대해 벽온 일정 조건에서 Nu = 3.66, 벽 열유속 일정 조건에서 Nu = 4.36을 사용합니다.
Re = ρvd/μ = 998.2 × 0.1 × 0.01 / 1.0000 × 10⁻³ = 998.2 (층류)
Pe = Re × Pr = 6968
h = Nu k/d = 3.66 × 0.5995 / 0.01 = 219.4 W/(m²·K); 열유속 일정 조건이면 261.4 W/(m²·K)
유효 전도 길이 δeff = d/Nu = 2.732 mm
흔히 인용되는 열적 입구 길이 추정 0.05 Re Pr d ≈ 3.48 m
해석: Nu = 3.66은 관 단면의 온도 분포가 완전히 발달한 뒤에만 쓸 수 있는 값이며, Pr이 큰 이 층류에서는 그 구간에 도달하기까지 관이 수 미터 필요합니다. 길이가 1 m인 가열 시험부라면 시험부 대부분이 입구 영역에 놓이고, 그 구간에서 국소 Nu는 3.66보다 큰 값을 보입니다. 벽 경계 조건만 바꿔도 h가 19% 달라지므로, 수치 해석이나 시험 보고서에는 어느 벽 조건을 썼는지 반드시 밝혀야 합니다.
일반적으로 h를 예측하려면 형상, 층류·난류 구분, 국소·평균 구분, 벽 온도·열유속 조건과 유효 범위가 명시된 해 또는 상관식이 필요합니다.
비교할 때 기록할 조건
- 같은 길이·속도·물성으로 Re와 Pe를 비교합니다.
- 열확산에는 α, 물질 확산에는 해당 용질의 D를 쓰고, ν와 같은 온도에서 구한 값을 사용합니다.
- 확산 길이의 근삿값과 경계층 해의 두께 정의를 구분합니다.
- 국소 h와 평균 h를 섞지 말고 기준 온도를 기록합니다.
- Pr이나 Sc가 같아도 형상·벽 조건이 다르면 Nu 또는 물질 전달률은 달라질 수 있습니다.
- 완전발달 Nu를 쓰기 전에 입구 길이 추정으로 평가 위치가 완전발달 구간인지 확인합니다.
확산 척도와 Nu에 관해 자주 묻는 질문
√(αt)를 열경계층 두께로 쓰면 안 되나요?
√(αt)는 정지 매질에서 경계 조건이나 두께 정의를 정하지 않고 크기만 맞춘 결과입니다. 대류 경계층의 두께는 벽에 수직인 속도 분포, 앞전에서 떨어진 거리, 벽 조건에 따라 달라집니다. 따라서 크기 정도를 비교할 때는 √(αt)를 쓰고, 실제 두께나 h가 필요할 때는 형상과 조건이 맞는 경계층 해나 상관식을 사용하세요.
Sc는 어느 온도에서 계산해야 하나요?
ν와 D를 같은 온도에서 구해야 합니다. 보통은 사용하는 상관식이 지정한 막 온도나 평균 유체 온도를 씁니다. 예제 2에서 물속 산소의 Sc는 20 °C에서 508.6이지만 60 °C에서는 98.69입니다. 20 °C에서 구한 점성과 60 °C에서 구한 확산 계수를 한 식에 섞으면 두 온도 중 어느 상태도 나타내지 않는 값이 나옵니다.
Peclet 수만으로 h를 추정할 수 있나요?
추정할 수 없습니다. Pe는 선택한 길이에서 이송과 확산을 비교할 뿐이고, h는 형상·유동 영역·벽 경계 조건·발달 길이에도 의존합니다. 예제 3에서는 같은 관 유동이라도 벽 조건만 바뀌면 h가 219.4 또는 261.4 W/(m²·K)로 달라집니다.
직접 계산한 Pr이 물성표 값과 조금 다른 이유는 무엇인가요?
물성표는 k, cₚ, μ를 서로 독립적으로 반올림해서 싣습니다. IAEA의 20 °C 물 값으로 계산하면 μcₚ/k는 6.981, ν/α는 6.982입니다. Pe = Re × Pr 같은 항등식을 검산할 때는 계산한 Re와 표의 Pr을 섞지 말고, 다른 계산에 쓴 것과 같은 μ, cₚ, k로 Pr을 구하세요.
참고 자료
- MIT OpenCourseWare (3.185): Lectures on Fluid Flow and Kinetics, §§3–4. 확산 계수 비로서의 Pr·Sc, 액체에서 큰 Sc, Nu 정의, Pr이 약 0.6보다 큰 층류의 δu/δT = 0.975 Pr1/3을 확인했습니다.
- IAEA (2008): Thermophysical Properties of Materials for Nuclear Engineering. 표 3.3의 20 °C·60 °C 포화수 물성을 사용했습니다.
- Cornell University: Calculating the Oxygen Diffusion Coefficient in Water. 20 °C·60 °C에서 Wilke–Chang 추정값 1.97 × 10⁻⁹, 4.82 × 10⁻⁹ m²/s와 약 ±10% 정확도를 확인했습니다.
- Idaho National Laboratory: RELAP-7 Theory Manual. 층류 Nu = 3.66(벽온 일정)과 4.36(열유속 일정), 식 (45)와 (591)을 확인했습니다.
- Michigan Technological University: CM3120 Module 2 Lecture IV. Pe를 대류 시간 척도와 열확산 시간 척도의 비교로 설명한 표를 확인했습니다.
확산 길이 유도, 예제 1의 어림수 입력, 예제 2·3의 유속·관 지름·노출 시간 가정은 이 사이트에서 정했습니다. 페이지에 실린 계산 결과는 모두 사이트 테스트에서 다시 계산합니다. 마지막 확인: 2026-10-22.