유체역학 이론과 검산

관의 압력손실: 보존법칙에서 포아죄유 해까지

같은 Re라도 관 길이가 달라지면 압력손실은 달라집니다. 질량·에너지 수지와 점성 해를 연결합니다.

압력손실 유도와 예제 재검산: 2026-10-22

어떤 문제를 풀 수 있나요?

지름이 일정한 관에서 필요한 압력차를 알고 싶을 때, Re는 흐름의 관성과 점성이 어느 쪽으로 기우는지를 알려 주지만 압력차 자체는 알려 주지 않습니다. 압력차를 구하려면 관 길이, 유량, 벽 조건을 함께 정해야 합니다. 아래 유도는 정상·비압축성 뉴턴 유체가 수평으로 곧게 놓인 원형 강체 관에서 완전히 발달한 층류를 이루는 경우를 다룹니다. 벽에서는 미끄럼이 없고 점도는 일정하다고 가정합니다.

입구 구간, 굽힘, 밸브, 펌프, 높이 차이는 먼저 제외합니다. 따라서 아래 결과는 이 조건을 갖춘 한 구간의 손실이며 배관 전체에 필요한 압력이 아닙니다. 유동 구간을 확인할 때는 관 안지름을 특성 길이로 쓴 Re 계산기를 이용합니다. 예제 3에서는 층류 가정을 벗어나 Darcy–Weisbach 식과 Colebrook–White 마찰계수로 난류 손실을 계산합니다.

변수와 서로 다른 두 길이

지름 D와 축 방향 길이 ℓ을 구분합니다.
변수단위의미
ρkg/m³밀도
μPa·s점성 계수
D, r, ℓm안지름, 중심에서의 반지름 좌표, 관 길이
v, u(r)m/s단면 평균 속도, 국소 축 방향 속도
Qm³/s체적 유량
Δp, τwPa구간 압력강하, 벽 전단응력 크기
g, hLm/s², m중력 가속도, 손실 수두
fD, ε–, mDarcy 마찰계수, 벽면 절대 조도

정상 질량 보존은 ṁ = ρAv이고, 밀도가 일정하면 Q = Av입니다. 단면적은 A = πD²/4를 사용하세요. 같은 유량에서 지름을 줄이면 속도도 함께 변하므로, 속도를 고정한 채 지름만 바꾼 Re 계산은 유량을 고정한 실험을 표현하지 못합니다.

점성 방정식을 적분하면 생기는 포물선

반지름 R = D/2로 두고 축 방향 운동량 방정식을 정리하면 0 = −dp/dx + μ(1/r)d/dr(r du/dr)입니다. 중심에서 속도 기울기가 유한하고 u(R) = 0이라는 조건을 써서 두 번 적분합니다.

u(r) = Δp(R² − r²)/(4μℓ)
Q = 2π∫₀ᴿu(r)r dr = πR⁴Δp/(8μℓ)

단면 적분으로 v = Q/(πR²) = ΔpR²/(8μℓ)를 얻으며, 중심 속도는 평균 속도의 두 배입니다. 이를 지름으로 다시 쓰면 Δp = 32μℓv/D²입니다. 이 식은 경험적인 근사식이 아니라 위 가정 아래에서 정확히 성립하는 점성 해입니다.

같은 손실을 에너지 수지로 읽기

비압축성 구간의 수두 수지는 p₁/(ρg) + α₁v₁²/(2g) + z₁ + h펌프 = p₂/(ρg) + α₂v₂²/(2g) + z₂ + h터빈 + hL입니다. 여기서 α는 운동에너지 보정계수입니다. 완전히 발달한 층류의 포물선 분포에서는 α = 2이므로, 균일 분포에 해당하는 1을 무조건 쓰면 안 됩니다. 지름과 속도 분포가 같고 높이가 같은 두 단면에서는 속도항과 높이항이 상쇄되어 hL = Δp/(ρg)가 남습니다.

속도 분포가 바뀌는 입구 구간이나 확대관에서는 α가 1과 2 사이에서 변하므로, 두 단면의 보정계수를 따로 정해야 합니다. Darcy 마찰계수의 정의 Δp = fD(ℓ/D)(ρv²/2)와 위 해를 비교하면 fD = 64/Re를 얻습니다. Fanning 마찰계수는 Darcy 계수의 4분의 1이므로 두 표기법을 섞으면 손실이 네 배 어긋납니다. 구간 전체에 대한 힘의 평형에서 벽 전단응력은 τw = ΔpD/(4ℓ) = (fD/8)ρv²입니다. 마찰이 있는 구간에 손실 항이 없는 베르누이 식만 쓰면 같은 지름의 수평관에서 압력차가 0이라는 잘못된 결론이 나옵니다.

세 가지 압력손실 계산

예제 1. 반올림 상수로 계산한 층류 구간

주어진 값(설명용). ρ = 1000 kg/m³, μ = 0.001 Pa·s, D = 0.01 m, ℓ = 2 m, v = 0.1 m/s, g = 9.81 m/s²를 사용합니다. 계산을 따라가기 쉽게 반올림한 상수이며, 특정 온도의 물성표를 인용한 값이 아닙니다.

Re = 1000 × 0.1 × 0.01 / 0.001 = 1000

Q = π × 0.01² × 0.1 / 4 = 7.85398 × 10⁻⁶ m³/s

Δp = 32 × 0.001 × 2 × 0.1 / 0.01² = 64 Pa

독립 확인: fD = 0.064, ℓ/D = 200, ρv²/2 = 5 Pa → Δp = 0.064 × 200 × 5 = 64 Pa

hL = 64/(1000 × 9.81) = 0.006524 m

벽 전단응력 τw = ΔpD/(4ℓ) = 0.08 Pa, 구간 손실 동력 ΔpQ = 0.00050265 W

해석. 손실 동력은 이 구간에서 소산되는 기계적 동력입니다. 펌프 효율과 다른 구간의 손실이 더해져야 하므로 펌프의 전력 소비량으로 읽으면 안 됩니다. 입구 길이도 따져 봐야 합니다. MIT 자료의 Le/D = 0.065 Re를 적용하면 Le ≈ 0.65 m로, 2 m 구간의 약 3분의 1이 발달 구간입니다. 발달 구간에서는 벽 전단응력이 더 크므로, 관이 수조나 이음쇠 바로 뒤에서 시작한다면 64 Pa는 실제 손실의 하한으로 보아야 합니다.

예제 2. 같은 관에 IAEA 물성표의 60 °C 물 흘리기

주어진 값. IAEA 표 3.3의 60 °C 포화수 값을 저압 액체 물의 근삿값으로 씁니다. ρ = 983.2 kg/m³, μ = 4.677 × 10⁻⁴ Pa·s입니다. D = 0.01 m, ℓ = 2 m, v = 0.1 m/s는 예제 1과 같게 가정합니다.

Re = 983.2 × 0.1 × 0.01 / (4.677 × 10⁻⁴) ≈ 2102.2

층류라고 보면 Δp = 32 × 4.677 × 10⁻⁴ × 2 × 0.1 / 0.01² ≈ 29.93 Pa이고, 예제 1에 대한 비는 0.4677입니다

τw ≈ 0.0374 Pa, ΔpQ ≈ 0.000235 W

Le = 0.065 × 2102.2 × 0.01 ≈ 1.37 m

해석. 층류에서 Δp는 μ에 비례하므로, 물을 데우면 손실이 절반 아래로 줄어듭니다. 점성 계수의 비 4.677 × 10⁻⁴/0.001이 그대로 압력손실의 비 0.4677이 되며, 밀도 변화는 층류 해에 들어가지 않습니다. 그러나 이 결과는 판단의 경계에 놓여 있습니다. Re ≈ 2102는 WIPP 모델이 층류 한계로 쓰는 2100을 조금 넘고, MIT 자료의 2300과 TU Delft 교재의 2320보다는 낮습니다. 입구 길이도 관 길이의 약 3분의 2에 이릅니다. 이처럼 세 기준 가운데 어느 것을 따르느냐에 따라 같은 유동이 층류로도, 천이 영역으로도 분류됩니다. 따라서 29.93 Pa를 확정값으로 보고하기보다 "층류일 가능성이 높지만 발달 구간이 길어 실제 손실은 더 클 수 있음"이라고 조건을 붙여 적고, 이 값이 설계에 중요하다면 측정으로 확인해야 합니다.

예제 3. Colebrook–White 마찰계수로 계산한 난류 물 유동

주어진 값. IAEA 표의 20 °C 물: ρ = 998.2 kg/m³, μ = 1.0000 × 10⁻³ Pa·s입니다. D = 0.05 m, v = 1.5 m/s, ℓ = 10 m, g = 9.81 m/s²는 가정한 조건입니다. 벽은 두 경우로 나눕니다. 하나는 수력학적으로 매끈한 관(ε/D = 0)이고, 다른 하나는 상대 조도 ε/D = 0.001을 가정한 관입니다.

Re = 998.2 × 1.5 × 0.05 / 0.001 = 74,865, ℓ/D = 200, ρv²/2 ≈ 1123 Pa

Colebrook–White 식 1/√fD = −2 log₁₀(2.51/(Re√fD) + 0.27 ε/D)를 fD = 0.02에서 시작해 반복하면, 매끈한 관 fD ≈ 0.01913(네 번 반복하면 0.0191에 도달), 거친 관 fD ≈ 0.0228

Blasius 식 확인(매끈한 관, 2320 < Re < 10⁵): 0.3164 Re−0.25 ≈ 0.01913

매끈한 관: Δp = 0.01913 × 200 × 1123 ≈ 4.30 kPa, hL ≈ 0.439 m, τw ≈ 5.37 Pa

거친 관: Δp ≈ 5.13 kPa

Q = π × 0.05² × 1.5 / 4 ≈ 2.945 × 10⁻³ m³/s, ΔpQ ≈ 12.7 W(매끈한 관), 15.1 W(거친 관)

64/Re를 잘못 적용한 경우: fD = 0.000855, Δp = 192 Pa로 약 22.4배 작게 나옵니다

해석. 예제 1의 fD = 0.064와 비교하면 마찰계수 자체는 3분의 1 이하로 작아졌지만, 동압 ρv²/2가 5 Pa에서 약 1123 Pa로 커졌기 때문에 손실은 훨씬 큽니다. 이 Re에서는 마찰계수가 더 이상 점성만으로 정해지지 않으며, ε/D = 0.001 정도의 조도만으로도 손실이 약 19% 늘어납니다. TU Delft 교재가 제시하는 명시적 근사식인 Swamee–Jain 식은 0.0190과 0.0230을 주는데, 반복 계산값과 약 1% 이내로 일치하므로 대부분의 배관 크기 선정에는 충분합니다. 층류 식은 여기서 한 자릿수 이상 틀립니다. Re를 확인하지 않고 32μℓv/D²를 쓰는 것이 압력손실 계산에서 가장 흔한 실수입니다. 실제 배관 재질의 조도는 제조사 자료나 핸드북에서 가져와야 하며, 여기서 쓴 0.001은 가정값입니다. 조도를 모르는 상태라면 매끈한 관과 거친 관의 두 값을 함께 제시해 손실의 범위를 보여 주는 편이 정직합니다.

조건을 바꾸기 전에 확인할 것

D와 v를 고정하고 ℓ을 두 배로 하면 Re는 그대로이고 Δp는 두 배가 됩니다. 층류에서 Q와 ℓ을 고정하고 D를 절반으로 하면 Δp는 16배가 되지만 v는 4배, Re는 2배가 됩니다. 원래 층류였다는 이유만으로 새 조건에 같은 해를 적용하지 말고, Re와 발달 조건을 다시 확인하세요. 난류에서는 Δp가 대략 v²에 비례하여 커집니다. MIT 자료도 여러 형상에서 난류에 따른 압력 변화가 평균 속도의 제곱에 비례한다고 설명하므로, 층류의 비례 관계를 그대로 쓰면 안 됩니다.

관 압력손실과 마찰계수에 관해 자주 묻는 질문

마찰계수가 Darcy 값인지 Fanning 값인지 어떻게 구분하나요?

원형 관 층류에서 Darcy 계수는 64/Re, Fanning 계수는 16/Re입니다. 매끈한 관에서 Re 10⁵일 때 약 0.02를 읽게 되는 무디 선도라면 Darcy 기준입니다. 계산한 Δp가 정확히 네 배 크거나 작게 나온다면 두 표기법을 섞었을 가능성이 큽니다.

Δp = 32μℓv/D²는 언제 써도 되나요?

뉴턴 유체가 원형 강체 관에서 정상 상태의 완전 발달 층류를 이룰 때 씁니다. 사용하는 자료의 천이 기준(약 2100~2320)과 Re를 비교하고, 입구 길이 0.065 Re D가 관 길이보다 충분히 짧은지도 확인해야 합니다.

Colebrook–White 식은 반드시 반복 계산해야 하나요?

이 식은 fD에 대해 음함수 형태이므로 직접 풀려면 반복이 필요합니다. 예제 3처럼 0.02에서 시작하면 몇 번만 반복해도 네 자리까지 수렴합니다. Swamee–Jain 식 같은 명시적 근사식이나, Re 10⁵ 이하의 매끈한 관에서 쓰는 Blasius 식도 대개 1% 안팎에서 일치합니다.

ΔpQ가 펌프에 필요한 동력인가요?

아닙니다. ΔpQ는 해당 구간에서 소산되는 기계적 동력입니다. 펌프 축동력은 다른 구간과 이음쇠, 높이 차이를 모두 더한 뒤 펌프 효율로 나누어 구하며, 전동기와 구동계의 손실은 그 위에 다시 더해집니다.

층류에서 운동에너지 보정계수가 2인 이유는 무엇인가요?

포물선 분포는 평균 속도가 같은 균일 분포보다 더 많은 운동에너지를 실어 나릅니다. u(r)의 세제곱을 단면에서 평균하면 정확히 v³의 두 배가 됩니다. 같은 관의 두 단면 사이에서는 이 항이 상쇄되지만, 지름이 바뀌거나 유동 상태가 바뀌는 구간에서는 상쇄되지 않습니다.

참고 자료