계산 방법과 해석

누셀트 수 (Nusselt Number)

공식에 값을 넣는 방법과 결과를 읽을 때 확인할 조건을 정리했습니다.

Nu가 비교하는 대류와 전도

누셀트 수는 대류 열전달 계수 h를 같은 길이에서 순수 전도가 낼 수 있는 열전달 계수 k/L로 나눈 값입니다. 두께 L인 정지 유체층이 열을 전도로만 전달한다면 열전달 계수는 k/L이 됩니다. 따라서 Nu는 유체가 흐르면서 이 기준보다 몇 배 많은 열을 옮기는지를 나타냅니다. Michigan Tech의 CM3120 강의 자료는 Nu를 “대류에서의 무차원 열전달 계수”라고 정리합니다.

실무에서 Nu는 두 방향으로 쓰입니다. 설계 단계에서는 상관식으로 Nu를 먼저 구하고 h = Nu·k/L로 되돌려 열전달 계수를 얻습니다. 실험이나 CFD 결과를 검토할 때는 반대로 측정한 h를 Nu로 바꿔 문헌의 상관식이나 다른 조건의 결과와 비교합니다. 단위가 없는 수로 바꾸어야 지름이나 유체가 다른 경우끼리 같은 기준으로 놓고 볼 수 있습니다.

Nu = hL/k에서 L과 k를 고르는 법

Nu = hL / k

h는 대류 열전달 계수(W/(m²·K)), L은 형상에 맞게 정한 특성 길이(m), k는 유체의 열전도율(W/(m·K))입니다. 단위를 확인하면 W/(m²·K) × m ÷ W/(m·K) = 1이 되어 Nu에 단위가 남지 않습니다. 이 계산기는 h를 예측하지 않으므로, h는 측정값이나 상관식에서 가져와야 합니다.

이 값으로 계산하기

기준이 되는 Nu 값: 층류 3.66·4.36과 난류 상관식

원형 관에서 층류가 열적으로도 완전히 발달하면 Nu는 Re나 Pr과 상관없는 상수가 됩니다. RELAP-7 이론 매뉴얼은 벽 열유속이 일정할 때 Nu = 4.36(식 45, 591), 벽 온도가 일정할 때 Nu = 3.66(식 591)을 씁니다. 식 (45)에 대해서는 “균일한 벽 열유속과 일정한 물성을 가정한 완전발달 층류의 정확해”라고 설명합니다. 이 영역에서는 유속을 높여도 h가 커지지 않고, h = Nu·k/D이므로 지름이 작을수록 h가 커집니다.

난류에서는 Nu가 Re와 Pr에 따라 커집니다. 널리 쓰이는 Dittus–Boelter 식은 아래와 같고, RELAP-7 식 (46)은 C = 0.023, 유체를 가열할 때 n = 0.4, 냉각할 때 n = 0.3을 씁니다.

NuD = 0.023 ReD0.8 Prn

이 식은 매끈한 원형 관의 완전발달 난류에서 벽과 유체의 온도 차가 크지 않을 때 씁니다. 흔히 인용되는 적용 범위는 대략 Re ≳ 10⁴, Pr 약 0.6~160, L/D ≳ 10이며, 교재마다 경계값이 조금씩 다릅니다. RELAP-7의 벽 열전달 절(식 592, 593)은 Gnielinski 식을 쓰며, 층류·난류·자연대류 Nu 가운데 가장 큰 값을 택해 천이 구간에서 h가 불연속으로 튀지 않게 합니다(식 590). 또 Pr이 0.1보다 작은 액체 금속에는 Nu = 5.0 + 0.025Pe0.8을 따로 씁니다.

관 유동 열전달 계수를 Nu에서 되짚기

예제 1. 지름 4 mm 관의 20 °C 물 층류: Nu 3.66과 4.36을 h로 바꾸기

주어진 값: 20 °C 물의 물성은 IAEA 표 3.3의 포화액 값(ρ = 998.2 kg/m³, μ = 1.0000×10⁻³ Pa·s, k = 0.5995 W/(m·K), Pr = 6.981)을 씁니다. 관 안지름 4 mm와 평균 유속 0.2 m/s는 설명을 위해 가정한 운전 조건입니다.

흐름 확인: Re = 998.2 × 0.2 × 0.004 ÷ 1.0000×10⁻³ = 798.6입니다. 원형 관의 대표 천이값 약 2300보다 충분히 작으므로 층류로 봅니다.

계산: 벽 온도가 일정하면 h = 3.66 × 0.5995 ÷ 0.004 = 548.5 W/(m²·K), 벽 열유속이 일정하면 h = 4.36 × 0.5995 ÷ 0.004 = 653.5 W/(m²·K)입니다. 같은 유속에서 지름만 8 mm로 키우면 벽온 일정 조건의 h는 274.3 W/(m²·K)로 절반이 됩니다.

해석: 경계 조건 하나만 바뀌어도 h가 약 19% 달라지므로, 가열 방식(전기 히터처럼 열유속이 정해진 경우인지, 응축 증기처럼 벽 온도가 정해진 경우인지)을 먼저 정해야 합니다. 또 이 상수는 완전발달 구간에만 맞습니다. 교재에서 흔히 쓰는 층류 열적 입구 길이 근사 0.05RePrD를 적용하면 0.05 × 798.6 × 6.981 × 0.004 = 1.11 m로, 지름의 약 279배입니다. 이보다 짧은 관에서는 입구 효과 때문에 평균 Nu가 3.66보다 큽니다. RELAP-7도 완전발달 가정이 강한 입구 효과가 있는 짧은 관에서는 의심스러울 수 있다고 적고 있습니다.

예제 2. 지름 25 mm 관의 60 °C 물 난류: Dittus–Boelter와 Gnielinski 비교

주어진 값: 60 °C 물은 IAEA 표 3.3 값(ρ = 983.2 kg/m³, μ = 4.677×10⁻⁴ Pa·s, k = 0.6510 W/(m·K), Pr = 3.005)을 씁니다. 안지름 25 mm, 평균 유속 1.0 m/s, 벽이 물을 가열하는 조건, 벽-유체 온도 차 10 K는 가정한 운전 조건입니다.

Re 계산: Re = 983.2 × 1.0 × 0.025 ÷ 4.677×10⁻⁴ = 52,555입니다. Re와 Pr 모두 Dittus–Boelter 식의 일반적인 적용 범위 안에 있습니다.

Nu와 h: 가열 조건(n = 0.4)에서 Nu = 0.023 × 52,5550.8 × 3.0050.4 = 213.5이고, h = 213.5 × 0.6510 ÷ 0.025 = 5559 W/(m²·K)입니다. 같은 물을 냉각하는 조건(n = 0.3)이라면 Nu = 191.2, h = 4980 W/(m²·K)로 약 10% 작습니다. 온도 차 10 K에서 열유속은 q = h·ΔT = 5559 × 10 = 55.6 kW/m²입니다.

다른 상관식과 비교: RELAP-7 식 (592), (593)의 Gnielinski 식으로 계산하면 마찰계수 f = (1.58 ln 52,555 − 3.28)⁻² = 0.00518, Nu = 236.1, h = 6148 W/(m²·K)입니다. Dittus–Boelter 값이 9.6% 작습니다.

해석: 같은 조건에서 검증된 두 상관식이 10% 가까이 다르게 나옵니다. 두 식은 Re와 Pr에 대한 함수 형태가 다르므로, 같은 입력에서도 결과가 이 정도 벌어질 수 있습니다. 상관식으로 얻은 h는 이 정도의 불확실성을 가진 추정값으로 다루고, 열교환기 크기를 정할 때는 여유를 둡니다. 층류 예제의 h 549~654 W/(m²·K)와 비교하면 난류에서 h가 8.5~10배 커졌습니다.

예제 3. 같은 h로 Nu와 Bi를 따로 계산하기

주어진 값: 예제 2의 h = 5559 W/(m²·K)를 씁니다. 관 벽은 두께 2 mm인 316 스테인리스강으로 가정하고, 벽의 열전도율은 IAEA 표 6.20의 300 K 값 14.0 W/(m·K)를 근사로 씁니다.

계산: 유체 쪽 Nu = hD/k유체 = 5559 × 0.025 ÷ 0.6510 = 213.5입니다. 벽 쪽 Bi = ht/k벽 = 5559 × 0.002 ÷ 14.0 = 0.79입니다. 만약 Nu 계산에 실수로 벽의 k를 넣으면 5559 × 0.025 ÷ 14.0 = 9.93이 나와, 마치 층류 근처의 약한 대류처럼 보입니다.

해석: 두 수는 식 모양이 같지만 의미가 다릅니다. MIT 3.185 강의 노트는 Nu에서는 전도와 대류가 모두 유체 안에서 일어나고, Bi는 고체 내부 전도 저항과 유체 경계층 저항의 비라고 구분합니다. Bi = 0.79는 벽 내부 전도 저항이 대류 저항과 비슷한 크기라는 뜻이므로, 이 관 벽의 온도를 하나의 값으로 두고 계산하면 오차가 생깁니다.

Nu 크기와 열경계층 두께

MIT 3.185 강의 노트는 h ~ k/δT를 대입해 Nu ~ L/δT로 다시 씁니다. 여기서 δT는 열경계층 두께입니다. Nu가 크다는 것은 특성 길이에 비해 열경계층이 얇다는 뜻이고, 얇은 층을 가로지르는 온도 구배가 커서 열유속도 커집니다. 예제 2의 Nu 213.5는 25 mm 관에서 실질적인 열저항이 벽 근처 약 0.1 mm 두께(25 mm ÷ 213.5 = 0.117 mm)의 층에 몰려 있다는 척도로 읽을 수 있습니다. 이 값은 크기를 가늠하는 척도이며 실제 경계층 두께를 계산한 것은 아닙니다. 같은 식으로 보면 예제 1의 층류(Nu 3.66, D 4 mm)에서는 이 척도가 약 1.1 mm로 관 반지름의 절반을 넘습니다. 층류에서는 온도 분포가 관 단면 전체에 걸쳐 있고, 난류에서는 벽 근처 얇은 층에 몰린다는 차이가 Nu 숫자에 그대로 나타납니다.

Nu를 비교할 때는 다음을 확인합니다.

Nu 상관식을 적용하기 전에 확인할 조건

누셀트 수 계산에서 자주 묻는 질문

층류 관 유동에서 유속을 두 배로 올렸는데 왜 h가 그대로인가요?

열적으로 완전발달한 층류에서는 Nu가 3.66이나 4.36으로 고정되고 h = Nu·k/D이므로 유속이 h에 들어가지 않습니다. 다만 유속을 높이면 Re와 열적 입구 길이가 함께 커져서, 관이 짧다면 입구 효과 때문에 평균 h가 커질 수 있습니다.

벽 온도 일정과 열유속 일정 가운데 어느 조건을 골라야 하나요?

실제 가열 방식에 가까운 쪽을 고릅니다. 전기 히터나 균일한 열원으로 가열하는 관은 열유속 일정(4.36)에, 응축 증기나 끓는 액체에 둘러싸인 관은 벽 온도 일정(3.66)에 가깝습니다. 어느 쪽인지 확실하지 않다면 두 값을 모두 계산해 h의 범위로 보고합니다. 예제 1의 4 mm 관이라면 548.5~653.5 W/(m²·K)가 그 범위입니다.

Dittus–Boelter와 Gnielinski 결과가 다르면 어느 쪽을 믿어야 하나요?

어느 한쪽이 정답이라고 보기보다 상관식의 불확실성으로 받아들이는 편이 안전합니다. 예제 2처럼 두 식은 10% 가까이 차이 날 수 있습니다. 적용 범위를 확인한 뒤, 가능하면 같은 형상의 실험값이나 검증된 CFD 결과와 비교해 하나를 정합니다.

Nu와 비오 수는 식이 같은데 무엇이 다른가요?

Nu는 유체의 k를, Bi는 고체의 k를 씁니다. Nu는 유체 안에서 대류가 전도보다 얼마나 강한지를, Bi는 고체 내부 전도 저항이 표면 대류 저항에 비해 얼마나 큰지를 나타냅니다. Michigan Tech CM3120 자료도 두 수를 “정의는 비슷하지만 목적과 의미가 전혀 다른 수”라고 경고합니다.

Nu를 상관식으로 구하려면 아래 수가 입력으로 필요하거나, 결과를 해석할 때 함께 봅니다.

참고 자료