계산 방법과 해석

슈미트 수 (Schmidt Number)

공식에 값을 넣는 방법과 결과를 읽을 때 확인할 조건을 정리했습니다.

슈미트 수가 비교하는 두 가지 확산

슈미트 수는 운동량 확산율(동점성 계수 ν)과 어떤 성분의 분자 확산 계수 D를 비교합니다. MIT 3.185 강의 자료는 ν/D를 물질전달 프란틀 수라고 부르고, 이 값을 슈미트 수라고도 한다고 설명합니다. 열전달의 Pr = ν/α에서 열확산 계수 α 자리에 D를 넣은 형태입니다.

Michigan Tech CM3120 강의 자료는 Pr, Sc, Le가 확산 계수 ν, α, D의 크기를 비교하는 물성의 비라고 정리하고, Sc = Le·Pr, 물질 페클레 수 Pe = Re·Sc 관계를 제시합니다. 따라서 Sc는 흐름 속도나 크기와 상관없이 성분과 용매, 온도가 정해지면 결정되는 값입니다. MIT 3.185 자료는 액체 속 물질전달 프란틀 수가 예외 없이 1보다 훨씬 크다고 설명합니다. 용질의 분자 확산이 점성에 의한 운동량 전달보다 훨씬 느리기 때문입니다.

입력값: 용매 물성과 성분 쌍의 확산 계수

Sc = μ / (ρD) = ν / D

μ는 용매(매질)의 점성 계수(Pa·s), ρ는 용매의 밀도(kg/m³), D는 관심 성분이 그 용매 안에서 갖는 분자 확산 계수(m²/s)입니다. D는 한 물질의 고유값이 아니라 '어떤 성분이 어떤 매질 속에서' 확산하는지로 정해지는 쌍의 물성입니다. 자료가 cm²/s 단위라면 10⁻⁴를 곱해 m²/s로 바꿉니다. 예를 들어 Cornell 자료의 0.0000197 cm²/s는 1.97×10⁻⁹ m²/s입니다.

계산기 기본값 μ = 0.001 Pa·s, ρ = 1000 kg/m³, D = 1×10⁻⁹ m²/s를 넣으면 Sc = 0.001 ÷ (1000 × 1×10⁻⁹) = 1000이 나옵니다. 물속 작은 용질을 대략 나타낸 값이며, 실제 성분과 온도가 정해지면 아래 예제처럼 출처가 있는 물성으로 바꿔 넣습니다.

이 값으로 계산하기

물과 공기에서 본 Sc와 Pr의 크기

아래 표에서 ν와 Pr은 IAEA 물성표, D는 Cornell 자료에서 가져왔고, Sc = ν/D는 이 사이트에서 계산했습니다. 해수 속 CO₂ 값은 CRAN marelac 문서의 예제 출력입니다.

성분·용매 조합별 확산 계수와 슈미트 수, 같은 용매의 프란틀 수
성분과 용매, 온도ν (m²/s)D (m²/s)Sc = ν/D용매 Pr
산소, 물, 20 °C1.0020 × 10⁻⁶1.97 × 10⁻⁹508.66.981
산소, 물, 60 °C4.757 × 10⁻⁷4.82 × 10⁻⁹98.693.005
산소, 질소(공기 근사), 20 °C, 1 atm1.5104 × 10⁻⁵2.19 × 10⁻⁵0.690약 0.71
CO₂, 해수(염분 35), 20 °C표에 없음표에 없음약 660표에 없음

같은 물에서 Pr은 약 7인데 산소의 Sc는 500을 넘습니다. 열은 물속에서 비교적 빨리 퍼지지만 녹은 기체는 훨씬 느리게 퍼진다는 뜻입니다. 반대로 기체 혼합물에서는 분자 확산 계수가 동점성 계수와 같은 자릿수라서 Sc가 1 안팎에 머뭅니다.

용존 산소와 기체 산소로 계산한 예제

예제 1. 20 °C 물속 용존 산소

주어진 값: 20 °C 물의 μ = 1.0000×10⁻³ Pa·s, ρ = 998.2 kg/m³, ν = 1.0020×10⁻⁶ m²/s, Pr = 6.981입니다(IAEA 표 3.3, 포화액 값을 저압 액체 근사로 사용). 산소의 확산 계수는 0.0000197 cm²/s, 즉 1.97×10⁻⁹ m²/s입니다(Cornell, Wilke–Chang 추정값).

계산: 계산기에 μ, ρ, D를 넣으면 Sc = 1.0000×10⁻³ ÷ (998.2 × 1.97×10⁻⁹) = 508.5입니다. 표의 ν로 직접 나누면 1.0020×10⁻⁶ ÷ 1.97×10⁻⁹ = 508.6으로, 반올림 차이만 있습니다.

Pr과 비교: Sc/Pr = 508.5 / 6.981 = 72.84이므로 열확산 계수가 산소 확산 계수보다 약 73배 큽니다. MIT 3.185 자료는 Pr이 큰 층류 평판 경계층에서 속도 경계층과 열경계층 두께의 비를 δu/δT = 0.975 Pr1/3로 제시합니다. 같은 식을 물질전달에 대응시키면 δu/δc = 0.975 × 508.51/3 = 7.78이고, 열경계층에서는 0.975 × 6.9811/3 = 1.86입니다. 농도 경계층은 열경계층보다 약 4.2배 얇습니다.

불확도: Cornell 자료는 Wilke–Chang 식이 묽은 비해리성 용질에서 대개 ±10% 이내라고 설명합니다. D가 ±10% 달라지면 Sc는 462~565 범위가 됩니다.

예제 2. 60 °C로 데운 물에서 같은 계산

주어진 값: 60 °C 물의 μ = 4.677×10⁻⁴ Pa·s, ρ = 983.2 kg/m³, ν = 4.757×10⁻⁷ m²/s, Pr = 3.005(IAEA 표 3.3), 산소의 D = 4.82×10⁻⁹ m²/s(Cornell)입니다.

계산: Sc = 4.677×10⁻⁴ ÷ (983.2 × 4.82×10⁻⁹) = 98.69입니다. 20 °C의 508.5보다 5.15배 작습니다. 온도가 오르면서 D는 2.45배 커지고 ν는 2.11배 작아졌기 때문에 두 효과가 곱해져 Sc가 크게 줄었습니다.

해석: δu/δc = 0.975 × 98.691/3 = 4.51로, 농도 경계층이 여전히 속도 경계층보다 얇습니다. 온도가 다른 두 조건에서 물질전달 상관식을 쓸 때 Sc를 한 온도 값으로 고정하면 결과가 크게 틀릴 수 있습니다. 물성은 경계층의 대표 온도에서 다시 구합니다. 벽면 온도와 주류 온도가 크게 다르면 두 온도에서 Sc를 각각 계산해 결과가 얼마나 달라지는지 확인해 두는 편이 좋습니다.

예제 3. 20 °C 공기 속 산소

주어진 값: Cornell의 기체 확산 자료는 대기압·20 °C에서 산소-질소 쌍의 D를 0.219 cm²/s로 제시합니다. 이 예제에서는 공기를 질소로 근사해 D = 2.19×10⁻⁵ m²/s를 씁니다. 공기의 ν는 IAEA 표 3.1의 μ = 1.819×10⁻⁵ Pa·s와, 98.1 kPa 밀도 1.166 kg/m³를 1 atm으로 이상기체 비례 환산한 ρ = 1.2043 kg/m³로 계산한 1.5104×10⁻⁵ m²/s입니다.

계산: Sc = 1.5104×10⁻⁵ ÷ 2.19×10⁻⁵ = 0.690입니다. 같은 20 °C에서 기체 속 D는 물속 D의 약 11,117배(2.19×10⁻⁵ / 1.97×10⁻⁹)입니다. 같은 산소 분자라도 공기 속에서는 물속보다 1만 배 이상 빨리 퍼진다는 뜻이며, 이 차이가 액체와 기체의 Sc 자릿수를 가릅니다.

해석: Sc가 공기의 Pr(약 0.71)과 비슷하므로 산소 농도 경계층과 열경계층 두께도 비슷합니다. MIT 3.185 자료의 두께비 식은 Pr이 약 0.6 이상일 때 쓸 만하다고 되어 있어 이 조건에도 적용할 수 있습니다. 0.975 × 0.6901/3 = 0.862이므로 농도 경계층이 속도 경계층보다 조금 두껍습니다.

Sc ≫ 1이 농도 경계층과 격자에 주는 의미

Sc가 수백인 액체 물질전달에서는 농도 변화가 벽 근처의 매우 얇은 층에 몰립니다. 예제 1에서 농도 경계층 두께는 층류 속도 경계층의 약 1/8입니다. 속도장을 기준으로 맞춘 CFD 격자가 농도 기울기를 충분히 분해하지 못하는 경우가 생기는 이유입니다. 벽면 물질전달률이 결과의 핵심이라면 첫 격자 높이를 농도 경계층 기준으로 다시 점검합니다.

난류에서는 사정이 조금 다릅니다. MIT 3.185 자료는 난류 에디가 열과 용질을 운동량과 거의 같은 정도로 옮기므로 난류 점성 계수와 난류 확산 계수의 비 νt/Dt가 1에 매우 가깝다고 설명합니다. 난류 핵심부에서는 분자 Sc가 크게 작용하지 않지만, 난류가 약해지는 벽 바로 옆에서는 분자 Sc가 물질전달 저항을 좌우합니다.

해양학에서는 해수면 기체 교환을 계산할 때 Sc를 씁니다. CRAN marelac의 gas_schmidt 함수는 염분 35, 수온 0~30 °C 해수에서 여러 기체의 Sc를 추정하고, 20 °C CO₂의 Sc를 약 660으로 출력합니다. gas_transfer 함수는 해수면 10 m 높이 풍속과 이 Sc를 입력으로 받아 기체 전달 속도(m/s)를 계산합니다.

확산 계수 자료를 쓸 때 확인할 점

슈미트 수 계산에서 자주 묻는 질문

같은 물인데 Pr은 7 정도이고 산소의 Sc는 500이 넘는 이유는 무엇인가요?

두 수의 분자는 같은 ν이고 분모만 다릅니다. 20 °C 물에서 열확산 계수는 산소 확산 계수보다 약 73배 크므로(예제 1의 Sc/Pr = 72.84) Sc가 Pr보다 그만큼 커집니다. 이 비 α/D가 Lewis 수이며, Michigan Tech 자료의 Sc = Le·Pr 관계와 같습니다.

기체 혼합물의 Sc는 왜 1 근처에 모이나요?

기체에서는 운동량과 성분 분자가 모두 분자의 열운동으로 옮겨지므로 ν와 D가 같은 자릿수입니다. 예제 3의 공기 속 산소는 ν = 1.5104×10⁻⁵ m²/s, D = 2.19×10⁻⁵ m²/s로 Sc = 0.690입니다. 액체에서는 분자 확산만 크게 느려져 Sc가 수백 이상이 됩니다.

CFD에서 입력하는 난류 슈미트 수와 이 계산기의 Sc는 같은 값인가요?

다릅니다. 이 계산기의 Sc는 분자 점성과 분자 확산의 비입니다. 난류 슈미트 수는 난류 모델이 만든 난류 점성과 난류 확산의 비이며, MIT 3.185 자료는 그 값이 1에 매우 가깝다고 설명합니다. 해석 프로그램에서는 두 값을 따로 입력하고, 벽 근처 물질전달은 분자 Sc가 좌우합니다.

해수면 기체 교환을 계산할 때 Sc가 왜 필요한가요?

기체 전달 속도는 풍속뿐 아니라 그 기체가 물속에서 얼마나 빨리 확산하는지에 따라 달라집니다. CRAN marelac의 gas_transfer 함수는 10 m 높이 풍속과 Sc를 함께 받아 전달 속도를 계산하고, Sc를 직접 넣으면 기체 종류와 온도 인수보다 그 값을 우선합니다.

Sc로 용매와 성분의 확산 성질을 정한 뒤, 실제 흐름에서 물질전달 크기를 구할 때 이어서 쓰는 수입니다.

참고 자료