프란틀 수 계산법·예제·해석

프란틀 수가 비교하는 두 확산

프란틀 수는 운동량이 유체 속으로 퍼지는 빠르기(운동 점성 계수 ν)와 열이 퍼지는 빠르기(열확산 계수 α)를 나눈 값입니다. 두 값은 모두 단위가 m²/s인 확산 계수이므로 그 비는 무차원입니다. 식에 속도나 길이가 들어 있지 않기 때문에 Pr은 흐름 조건이 아니라 유체의 종류와 온도·압력으로 정해지는 물성입니다. 같은 20 °C 물이라면 가는 관을 지나든 넓은 평판 위를 흐르든 Pr은 같습니다.

열전달 계산에서 Pr이 필요한 경우는 크게 두 가지입니다. 첫째, 관이나 평판의 대류 상관식은 누셀트 수를 Re와 Pr의 함수로 주기 때문에 Pr을 먼저 알아야 h를 구할 수 있습니다. 둘째, 벽 근처에서 속도 경계층과 온도 경계층 가운데 어느 쪽이 두꺼운지 판단할 때 Pr을 봅니다. 이 판단은 상관식을 고르거나 벽 근처 CFD 격자를 정할 때 그대로 쓰입니다. 예를 들어 물 냉각기에서 얻은 열전달 자료를 공기나 액체 금속 냉각기에 옮겨 써도 되는지 따질 때, Re보다 먼저 두 유체의 Pr이 같은 범위에 있는지 확인합니다. Pr 범위가 다르면 같은 Re에서도 온도 경계층의 구조가 달라지므로 자료를 그대로 옮길 수 없습니다.

μcₚ/k와 ν/α가 같은 값인 이유

Pr = μcₚ / k = ν / α

운동 점성 계수는 ν = μ/ρ이고 열확산 계수는 α = k/(ρcₚ)입니다. 둘을 나누면 ν/α = (μ/ρ) × (ρcₚ/k) = μcₚ/k가 되어 밀도 ρ가 약분됩니다. 따라서 점성 계수 μ(Pa·s), 정압 비열 cₚ(J/(kg·K)), 열전도율 k(W/(m·K))만 알면 밀도 없이도 Pr을 계산할 수 있습니다. 반대로 물성표가 ν만 제공한다면 μ = νρ로 바꿀 때 밀도가 필요합니다.

단위가 실제로 사라지는지 확인해 보면 입력 실수를 잡기 쉽습니다. Pa·s = kg/(m·s), J/(kg·K) = m²/(s²·K), W/(m·K) = kg·m/(s³·K)이므로 μcₚ의 단위는 kg·m/(s³·K)이고, 이를 k의 단위로 나누면 1이 남습니다. 비열을 kJ 단위로 넣거나 점성 계수를 cP 단위로 넣으면 이 약분이 깨지고 결과가 1000배 단위로 틀어집니다.

용어도 실수를 부릅니다. 국내 교재와 물성표는 μ를 점성 계수, 점도, 절대 점도라고 부르고, ν를 동점성 계수, 동점도, 운동 점성 계수라고 부릅니다. 이름이 비슷해서 두 값을 바꿔 넣기 쉬우므로 이름보다 단위로 구분하는 편이 확실합니다. 단위가 Pa·s, cP, kg/(m·s)이면 μ이고, m²/s, cSt이면 ν입니다. 1 cSt = 10⁻⁶ m²/s이므로 20 °C 물의 ν는 약 1.0 cSt입니다.

이 값으로 계산하기

물성표에서 읽은 물·공기·나트륨의 Pr

아래 표는 IAEA 물성 자료집에서 옮긴 값입니다. 물은 각 온도의 포화액 값이며, 대기압 근처의 액체 물에 근사로 쓸 수 있습니다. 액체의 μ, cₚ, k는 압력보다 온도에 훨씬 민감하므로, 수 기압 이내에서는 포화액 값을 써도 Pr 오차가 작습니다. 공기는 98.1 kPa 건조 공기 값입니다. 나트륨 표에는 점성 계수 대신 운동 점성 계수 3×10⁻⁷ m²/s가 실려 있어서, μ 열에는 밀도 844 kg/m³를 곱해 환산한 값을 적었습니다.

IAEA 물성표(표 3.1, 3.3, 3.10)의 대표 물성과 Pr
유체·온도	μ (Pa·s)	cₚ (J/(kg·K))	k (W/(m·K))	표의 Pr
물 0 °C	1.7920 × 10⁻³	4220	0.5620	13.456
물 20 °C	1.0000 × 10⁻³	4185	0.5995	6.981
물 60 °C	4.677 × 10⁻⁴	4183	0.6510	3.005
물 100 °C	2.807 × 10⁻⁴	4217	0.6777	1.747
공기 20 °C	1.819 × 10⁻⁵	1000	0.0258	0.71
공기 1000 °C	4.899 × 10⁻⁵	1180	0.0784	0.74
액체 나트륨 450 °C	2.532 × 10⁻⁴ (νρ 환산)	1272	71.2	0.0045

물의 Pr은 0 °C에서 100 °C 사이에 13.456에서 1.747로 약 7.70배 줄어듭니다. 같은 구간에서 cₚ는 거의 그대로이고 k는 21% 늘어날 뿐이며, 변화의 대부분은 점성 계수가 6.4배 줄어드는 데서 옵니다. 공기는 20 °C에서 1000 °C까지 0.71에서 0.74로 거의 일정합니다. MIT 16.050 강의 자료도 기체의 Pr은 1에 가깝고 실온 공기는 0.71이며, 300~2000 K에서 약 3%만 변한다고 설명합니다. 그래서 물이나 기름은 물성 평가 온도를 잘못 고르면 Pr이 크게 틀어지지만, 공기는 온도를 대충 잡아도 Pr 자체는 크게 틀리지 않습니다. 액체 금속은 열전도율이 매우 커서 Pr이 0.01보다도 작습니다.

IAEA 물성값으로 직접 검산하기

예제 1. 20 °C 물: 표의 배율을 풀어 Pr 6.981 재현하기

주어진 값(IAEA 표 3.3, 20 °C 포화액): 점성 계수 열의 머리글은 10⁴(Pa·s)이고 값은 10.000입니다. 비열은 4.185 kJ/(kg·K), 열전도율 열은 머리글이 10³ W/(m·K)이고 값은 599.5입니다. 밀도는 998.2 kg/m³, 운동 점성 계수는 1.0020×10⁻⁶ m²/s입니다.

단위 변환: μ = 10.000 ÷ 10⁴ = 1.0000×10⁻³ Pa·s, cₚ = 4.185 × 1000 = 4185 J/(kg·K), k = 599.5 ÷ 10³ = 0.5995 W/(m·K)입니다.

계산: Pr = 1.0000×10⁻³ × 4185 ÷ 0.5995 = 6.981입니다. ν/α로도 확인합니다. α = 0.5995 ÷ (998.2 × 4185) = 1.435 × 10⁻⁷ m²/s이고, 이 값은 표의 열확산 계수 열(10⁷ 배율, 1.435)과 같습니다. ν/α = 1.0020×10⁻⁶ ÷ 1.435×10⁻⁷ = 6.983입니다.

해석: 두 경로의 결과는 표의 Pr 6.981과 맞습니다. ν/α 쪽에서 마지막 자리가 달라진 것은 α를 네 자리로 반올림한 뒤 나누었기 때문입니다. IAEA 표는 “10⁴(Pa·s)”처럼 머리글에 배율을 적고 본문에는 배율을 곱한 숫자를 싣는 형식을 씁니다. 다른 물성표도 비슷한 형식이 많으므로, 숫자를 옮기기 전에 머리글부터 읽는 습관이 필요합니다. 표의 머리글 배율을 거꾸로 적용하면(예: 10.000 × 10⁴) 결과가 10⁸배 틀어지므로, 배율이 “표의 값 = 10⁴ × μ”라는 뜻인지 먼저 확인합니다.

예제 2. 60 °C 물: 온도가 바뀌면 Pr과 상관식 결과가 얼마나 달라지나

주어진 값(IAEA 표 3.3, 60 °C 포화액): μ = 4.677×10⁻⁴ Pa·s, cₚ = 4183 J/(kg·K), k = 0.6510 W/(m·K)입니다.

계산: Pr = 4.677×10⁻⁴ × 4183 ÷ 0.6510 = 3.005로 표의 값과 같습니다. 20 °C의 6.981과 비교하면 2.32배 작습니다. 원인을 나누어 보면 점성 계수가 2.14배 줄고, 열전도율이 1.086배 커졌으며, 비열은 4185에서 4183으로 거의 그대로입니다. 세 요인을 곱하면 2.14 × 1.086 × 1.0005 = 2.32로 처음에 구한 비와 같으므로, Pr 감소의 대부분은 점성 계수에서 온다는 것을 확인할 수 있습니다.

해석: 60 °C 물이 흐르는 관에서 h를 구하면서 실수로 20 °C 물성을 넣었다고 가정해 봅니다. 가열 조건 Dittus–Boelter 식은 Nu가 Pr⁰·⁴에 비례하므로, Pr 항 하나만으로도 Nu가 2.32⁰·⁴ = 1.40배, 즉 약 40% 크게 나옵니다. 점성 계수는 Re에도 들어가므로 실제 오차는 이보다 더 복잡해집니다. 상관식이 정한 기준 온도(관 유동이면 보통 유체 평균 온도)에서 μ, cₚ, k를 함께 읽어야 하는 이유가 여기에 있습니다.

예제 3. 20 °C 공기: 0.705와 0.71 가운데 어느 값을 쓸까

주어진 값(IAEA 표 3.1, 98.1 kPa 건조 공기, 20 °C): 점성 계수 열은 10⁶(Pa·s) 배율로 18.19, 비열은 1.00 kJ/(kg·K), 열전도율 열은 10² W/(m·K) 배율로 2.58입니다. 같은 행의 운동 점성 계수는 15.61×10⁻⁶ m²/s, 열확산 계수는 22.0×10⁻⁶ m²/s이고 Pr은 0.71입니다.

단위 변환과 계산: μ = 1.819×10⁻⁵ Pa·s, cₚ = 1000 J/(kg·K), k = 0.0258 W/(m·K)이므로 Pr = 1.819×10⁻⁵ × 1000 ÷ 0.0258 = 0.705입니다. 같은 행의 ν/α는 15.61 ÷ 22.0 = 0.710입니다. 표의 압력 98.1 kPa는 1 atm보다 조금 낮지만, μcₚ/k에는 밀도가 들어가지 않고 기체의 μ와 k는 이 정도 압력 차이에 거의 변하지 않으므로 Pr 계산에는 영향이 없습니다.

해석: 두 값의 차이는 약 0.7%이고, 표의 반올림으로 설명할 수 있습니다. 측정 오차나 물성 자료의 차이가 아니라 인쇄된 자릿수의 문제라는 뜻입니다. cₚ는 1.00으로 세 자리만 실려 있어 ±0.5%, k는 2.58로 ±0.2%의 반올림 폭을 가집니다. 설계 계산에서는 0.71을 써도 충분합니다. 다만 Pe = Re × Pr 같은 항등식을 계산기로 검산할 때는 Pr을 같은 μ, cₚ, k로 다시 계산한 0.705를 써야 숫자가 끝자리까지 맞습니다.

Pr과 경계층 두께의 관계

층류 평판 경계층에서는 Pr이 속도 경계층 두께 δu와 온도 경계층 두께 δT의 비를 거의 직접 정합니다. MIT 3.185 강의 노트는 Pr이 약 0.6보다 큰 유체에 δu/δT ≈ 0.975Pr^1/3을, Pr이 약 0.05보다 작은 액체 금속에 δu/δT ≈ 0.72Pr^1/2을 제시합니다. 위 표의 값을 넣으면 다음과 같습니다.

20 °C 물(Pr 6.981): δu/δT ≈ 0.975 × 6.981^1/3 = 1.86으로, 온도 경계층이 속도 경계층 두께의 절반 남짓입니다.
60 °C 물(Pr 3.005): δu/δT ≈ 1.41입니다.
20 °C 공기(Pr 0.71): δu/δT ≈ 0.87로, 두 경계층 두께가 비슷하고 온도 경계층이 조금 더 두껍습니다.
450 °C 액체 나트륨(Pr 0.0045): δu/δT ≈ 0.72 × √0.0045 = 0.048로, 온도 경계층이 약 21배 두껍습니다.

물을 20 °C에서 60 °C로 데우면 두께 비가 1.86에서 1.41로 줄어, 온도 경계층이 속도 경계층에 비해 상대적으로 두꺼워집니다. 같은 물이라도 운전 온도에 따라 벽 근처에서 온도 분포를 해상하는 데 필요한 격자 간격이 달라진다는 뜻입니다. 공기는 두 층의 두께가 비슷하므로 속도 경계층에 맞춘 격자가 온도장에도 대체로 충분합니다.

이 차이는 해석 방법을 바꿉니다. Pr이 큰 유체에서는 온도 구배가 벽에 바짝 붙은 얇은 층에 몰려 있으므로, 벽 근처 격자를 속도 분포만 보고 정하면 열유속을 놓치기 쉽습니다. 액체 금속에서는 온도장이 속도 경계층 바깥까지 퍼지기 때문에 일반 유체용 상관식이 맞지 않습니다. INL RELAP-7 이론 매뉴얼도 Pr이 0.1보다 작은 액체 금속에는 Nu = 5.0 + 0.025Pe^0.8이라는 별도 식을 씁니다. 난류에서는 와류가 열과 운동량을 비슷하게 옮기므로 MIT 3.185 노트는 난류 프란틀 수가 1에 매우 가깝고 세 경계층 두께가 비슷해진다고 설명합니다. 위의 두께 비 식은 층류 평판에만 해당합니다.

Pr은 열전달 계수 크기에도 직접 들어갑니다. 같은 MIT 노트의 층류 평판 식 Nuₓ = 0.332Reₓ^1/2Pr^0.343에 따르면, Re와 위치가 같을 때 20 °C 물의 국소 Nu는 20 °C 공기보다 (6.981/0.71)^0.343 = 2.19배 큽니다. h = Nu·k/x로 바꾸면 열전도율 비 약 23배(0.5995 대 0.0258)가 추가로 곱해지므로, 물과 공기의 h 차이는 대부분 k에서 오고 Pr은 그 위에 두 배 남짓을 더합니다.

Pr을 잘못 계산하는 대표적인 경우

비열을 kJ 단위로 입력: 물성표 대부분이 비열을 kJ/(kg·K)로 싣기 때문에 가장 흔한 실수입니다. 20 °C 물에 cₚ = 4.185를 그대로 넣으면 Pr = 0.00698이 나옵니다. 물인데 Pr이 0.01보다 작다면 거의 확실히 단위 오류입니다.
점성 계수를 cP 숫자 그대로 입력: 1 cP = 1 mPa·s = 0.001 Pa·s입니다. 20 °C 물의 1.0 cP를 1.0 Pa·s로 넣으면 Pr이 6981이 되어 기름처럼 보입니다.
μ 자리에 ν 입력: 1.0020×10⁻⁶ m²/s를 μ 칸에 넣으면 0.00699가 나옵니다. 밀도 998.2배만큼 작아진 값입니다.
서로 다른 온도의 물성 혼합: 예제 2처럼 물의 μ는 40 °C 차이에 두 배 넘게 변합니다. μ는 20 °C 표에서, k는 60 °C 표에서 가져오면 어느 상태에도 해당하지 않는 값이 됩니다.
공학 단위계 물성표와 SI 혼용: 오래된 핸드북은 비열을 kcal/(kg·°C), 열전도율을 kcal/(m·h·°C), 점성 계수를 kg/(m·h)로 싣기도 합니다. 단위계를 하나로 통일하면 Pr은 같게 나옵니다. 20 °C 물을 μ = 3.6 kg/(m·h), cₚ = 0.9996 kcal/(kg·°C), k = 0.5155 kcal/(m·h·°C)로 넣어도 Pr = 6.981입니다(1 kcal/(m·h·°C) = 1.163 W/(m·K)로 환산). 그런데 μ와 cₚ는 SI로 두고 k만 kcal 단위 값을 넣으면 8.12가 나옵니다. 이 값은 10~15 °C 물의 Pr(IAEA 표 9.432~7.937) 사이에 들어가서, 크기 범위만 보아서는 오류를 알아채기 어렵습니다.
분자 Pr과 난류 Pr 혼동: CFD 난류 모델의 난류 프란틀 수 Pr_t는 와점성과 와열확산의 비를 정하는 모델 상수이고, 물성표의 Pr과 다른 값입니다.
Pr만으로 열전달 판단: Pr은 유체 물성의 비일 뿐이므로 h나 열량을 주지 않습니다. 흐름의 세기를 나타내는 Re와 형상에 맞는 상관식이 함께 있어야 Nu와 h를 구할 수 있습니다.

프란틀 수 계산에서 자주 묻는 질문

물의 Pr은 왜 온도에 따라 이렇게 크게 변하나요?

물의 점성 계수가 온도에 매우 민감하기 때문입니다. IAEA 표에서 0 °C와 100 °C의 μ는 6.4배 차이가 나지만 cₚ와 k의 변화는 그보다 훨씬 작습니다. Pr = μcₚ/k에서 분자의 μ가 크게 줄어드니 Pr도 13.456에서 1.747로 줄어듭니다. 따라서 물을 다루는 계산에서는 물성 평가 온도를 몇 도만 바꿔도 Pr이 눈에 띄게 달라집니다.

공기 Pr은 0.71로 써도 되나요, 표 값으로 다시 계산해야 하나요?

열전달 계수를 추정하는 목적이라면 0.71로 충분합니다. IAEA 표의 반올림된 μ, cₚ, k로 계산하면 0.705가 나오지만 이 차이는 반올림 폭 안에 있습니다. Re × Pr = Pe처럼 여러 계산기 결과를 끝자리까지 맞추는 검산이라면 같은 입력으로 계산한 Pr을 쓰는 편이 혼란이 적습니다.

밀도를 모르는데 Pr을 구할 수 있나요?

μ, cₚ, k를 알고 있다면 구할 수 있습니다. Pr = μcₚ/k에는 밀도가 없습니다. 밀도가 필요한 경우는 ν/α 형태로 계산하거나, 나트륨 예처럼 물성표가 운동 점성 계수 ν만 주어서 μ = νρ로 바꿔야 할 때입니다.

CFD에 입력하는 난류 프란틀 수와 같은 값인가요?

다른 값입니다. 계산기가 구하는 Pr은 분자 확산에 대한 유체 물성입니다. 난류 프란틀 수는 난류 모델이 와점성으로부터 난류 열전도를 추정할 때 쓰는 계수이며, 유체 종류보다 모델 설정에 따라 정해집니다. 벽 함수와 층류 저층에서는 분자 Pr이 계속 필요합니다.

Pr은 흐름 조건을 나타내는 수와 곱해지거나, 다른 확산 계수 비와 나란히 비교됩니다.

페클레 수 (Pe): 레이놀즈 수에 Pr을 곱하면 열 이송과 열확산을 비교하는 Pe가 됩니다.
누셀트 수 (Nu): Dittus–Boelter 같은 관 유동 상관식에서 Pr은 Nu를 정하는 두 입력 가운데 하나입니다.
슈미트 수 (Sc): 열확산 계수 대신 물질 확산 계수를 분모에 둔, 물질전달용 Pr입니다.

참고 자료

IAEA: Thermophysical Properties of Materials for Nuclear Engineering (2008). 표 3.1 건조 공기, 표 3.3 포화수, 표 3.10 나트륨의 μ·cₚ·k·Pr 값
MIT OpenCourseWare (3.185): Transport Phenomena in Materials Engineering. Pr = ν/α가 유체 물성이라는 설명, 경계층 두께 비 0.975Pr^1/3·0.72Pr^1/2, 난류 프란틀 수가 1에 가깝다는 설명
MIT OpenCourseWare (16.050): Introduction to Engineering Heat Transfer. Pr = μcₚ/k 정의, 실온 공기 Pr = 0.71, 300~2000 K에서 약 3% 변화
Michigan Technological University: CM3120 Module 2 Lecture IV. Pr·Sc가 확산 계수 ν, α, D를 비교하는 물성 무차원수이고 Pe = RePr이라는 정리
Idaho National Laboratory: RELAP-7 Theory Manual, Rev. 2. Dittus–Boelter 식의 Pr 지수(가열 0.4, 냉각 0.3), Pr < 0.1 액체 금속용 Nu = 5.0 + 0.025Pe^0.8